Sesión 89

¡Bienvenidos a la sesión 89 del Seminario Repensar las Matemáticas! 

Construcción de la noción de número irracional en Educación Secundaria: algunos conflictos y dificultades asociados a su enseñanza

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28 de septiembre de 2016, 13:00 hrs, tiempo de México

En esta sesión Rosario Guzmán Sánchez, de la ESIQIE, IPN, y Liliana Suárez Téllez de CGFIE, IPN, dialogarán con

Luis Darío Reina

del Instituto de Estudios Superiores del Atuel en Mendoza, Argentina

El material alrededor del cual girará este dialógo será:

material de referenciaReina, L., Wilhelmi, M. R.,  Lasa, A. (2012). Configuraciones epistémicas asociadas al número irracional. Sentidos y desafíos en Educación Secundaria. Educación Matemática, 24(3),67–97.

Material complementario:

material de referenciaReina, L., Wilhelmi, M. R., Carranza, P., & Lasa, A. (2014). Construcción de la noción de número irracional en formación de profesores: conflictos semióticos y desafíos. En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 27: 629–637.

material de referenciaReina, L. y Wilhelmi, M.R. (2016). Un fenómeno didáctico asociado al reconocimiento y diferenciación de los números irracionales. Trabajo en extenso, en versión preliminar, para presentarse en el Congreso Internacional Virtual del Enfoque Ontosemiótico (CIVEOS 2). 1-18.

Analiza el documento de referencia, reflexiona sobre los contenidos e interacciona con nuestro invitado y otras personas interesadas en profundizar sobre los resultados de la investigación educativa y la forma en cómo vincularlos con la práctica docente.

Accede al material de apoyo que utilizó nuestro invitado en esta sesión:

Material de apoyo S89

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62 comentarios en “Sesión 89”

  1. Estimado Luis:

    Con este tema, números irracionales, nos abres la puerta a un mundo fascinante y prácticamente desconocido, por donde nos guiarás de una sorpresa a la siguiente. ¿Tenías idea de que el mundo de los números irracionales era tan rico y asombroso?
    ¿Cuáles son los motivos que te llevaron a estudiar el número irracional?

    Rosario Guzmán
    Academia de Matemáticas
    Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas
    Instituto Politécnico Nacional
    México

  2. I d o n e i d a d p a r a e l b a c h i l l e r a t o

    Estimado Luis:
    La lectura de los documentos de referencia nos ha abierto un mundo interesante de información sobre el número irracional, uno de los asuntos de reflexión para los docentes de bachillerato es cómo introducirlos en este nivel, así que la pregunta obligada es ¿Cuál es forma idónea de introducir los números irracionales en el bachillerato?

    Saludos cordiales.
    Liliana Suárez Téllez
    Docente del Instituto Politécnico Nacional

  3. Números cebra, esquizofrénicos, metálicos…

    Si uno pensaba que definir los números irracionales era fácil, tan sólo como “un número real con un número infinito de decimales no periódicos”, nunca había oído hablar de los números “cebra”, o los “irracionales esquizofrénicos”. Cuando introduces las fracciones continuas como estrategia para el estudio del número irracional, mencionas los números metálicos, plásticos y las espirales matemáticas.

    Por favor Luis, háblanos de ellos.

    Rosario Guzmán
    Academia de Matemáticas
    Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas
    Instituto Politécnico Nacional
    México

    1. Estimada Rosario:

      Muchas gracias por la pregunta, sin duda al expresarse un número irracional en otras formas o en otras bases se abren “mundos” por explorar.
      La familia de los números metálicos es descubierta por la Dra. Vera W. de Spinadel, profesora emérita de la Universidad de Buenos Aires, al investigar ciertas ecuaciones cuadráticas y al tomar las soluciones positivas de dichas ecuaciones y expresarlas en fracciones continuas.
      Son muy interesantes los trabajos de esta investigadora que muestran la relación entre algunos números irracionales, la fracciones continuas, el diseño en Arquitectura, los fractales, los cuasi-cristales, etc.

      Algunos de sus trabajos son:

      • Spinadel V. W. de (1995). La familia de los números metálicos y el diseño.
      Centro MAyDI de la Fac. de Arquitectura, Diseño y Urbanismo. Universidad de
      Buenos Aires. Disponible en:

      http://cumincades.scix.net/data/works/att/4856.content.pdf

      Inclusive estudia la cuasi-periodicidad y las rutas al caos!

      • Spinadel, V. W. de (2003). La familia de números metálicos. Cuadernos del
      CIMBAGE N°6 Centro de Matematica y Diseno MAyDI. Facultad de
      Arquitectura, Diseño y Urbanismo. Universidad de Buenos Aires. pp.17-44.

      http://www.redalyc.org/pdf/462/46200602.pdf

      Me planteabas tu interés sobre el número plástico, el cual surge de una ecuación cúbica, como lo expresamos en la videoconferencia. Una referencia obligada a mi entender es:

      • Spinadel, V. W. de, & Redondo, A. (2009). Towards van der Laan’s Plastic
      Number in the Plane. Journal for Geometry and Graphics, 13(2), 163–175.

      http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg13/j13h2spin.pdf

      En este documento encontrarás relaciones insospechadas entre este número. la geometría del plano y del espacio y las espirales!

      ¡Muchos saludos!
      Luis

      1. Números metálicos
        Interesante lo que nos presentas sobre números metálicos y lo que nos compartes de Spinadel de su trabajo ” La familia de los números metálicos y el diseño” donde se consideran: el Número de Oro, Número de Plata, el Número de Bronce, el Número de Cobre, el Número de Níquel entre otros y la forma de cómo relaciona el valor de cada número con su descomposición en fracciones continuas.
        Saludos,
        Claudia Flores Estrada
        CECyT 5 BJ

  4. I n f i n i t o

    Estimado Luis:
    El infinito está presente en las explicaciones que damos sobre el número irracional ya se cuando trabajamos con él en su expresión decimal o, ahora cuando trabajemos su expresión como fracción continua. Sin embargo tú mencionas el infinito actual, ¿podrías explicarnos a qué te refieres con este término y el papel que tiene en las dificultades que tiene el estudiante?
    Saludos cordiales.

    Liliana Suárez Téllez
    Docente del Instituto Politécnico Nacional

  5. Conmensurable e inconmensurable

    Respecto a cuestiones más técnicas, el concepto de conmensurable e inconmensurable juega un papel importante en la conceptualización de número irracional. Descubrir que había números inconmensurables causó verdaderas tragedias griegas en la antigüedad. La fría definición matemática de conmensurable puede no decirnos tanto como tú.
    Me gustaría que nos hablaras del concepto de inconmensurable.

    Rosario Guzmán
    Academia de Matemáticas
    Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas
    Instituto Politécnico Nacional
    México

    1. Estimada Rosario,
      Gracias por tu pregunta, una revisión histórica nos permite detectar diferentes estatutos que ha tenido la irracionalidad a lo largo de su evolución, primero desde la noción de inconmensurabilidad entre segmentos, por una unidad común, desarrollada por la escuela pitagórica griega. Ésta, según Crisóstomo, Ordoñez, Contreras y Godino (2005) “mantuvo en un plano implícito a nociones como continuo, infinito matemático y límite”, “el énfasis se centro en la búsqueda de alternativas que tornaran «innecesarios» los procesos infinitos” (p.132). Por ello llamamos configuración epistémica “implícita” a este primer significado parcial de la noción de irracionalidad.
      Como consecuencia, y como expresan estos autores, “se separa definitivamente la geometría de la aritmética y se acentúa el horror al infinito” (Crisóstomo et al., 2005,132), como tú muy bien señalabas.
      La “ruptura epistemológica” (Crisóstomo et al., 2005,135) llega entonces de la mano de Eudoxo de Cnido y su teoría de proporciones y el método de exhausción el cual permite la razón entre dos cantidades inconmensurables. Se hace explícita la posibilidad de superar las dificultades señaladas por los pitagóricos, por ello denominamos como “explícita” a esta nueva configuración epistémica.
      Pero como señalan nuevamente estos autores: “destacamos que aunque la solución presentada por Eudoxio para la crisis de los inconmensurables haya sido genial para su época, esta contribuyó al retraso del desarrollo de la aritmética y del algebra por más de un milenio, pues subordinada estas disciplinas al estudio de la geometría. La «matemática numérica» llegó a Europa solamente en el siglo XIII con los árabes y el desarrollo del álgebra ocurrió tres siglos después, preparando así las bases para el desarrollo de la geometría analítica y del cálculo en el siglo XVII” (p.136).
      Debemos señalar que esa llegada de “lo numérico” a Europa tuvo puntos de encuentro entre la noción de número irracional y el de fracción continua, a través de la aproximación, ya que existen evidencias históricas que así permiten señalarlo: Leonardo de Pisa, Fibonacci, en su Liber Abbaci (1202), expresa un numero fraccionario en fracción continua “ascendente” (¡sí,existen fracciones continuas ascendentes y descendentes!). En 1572 Rafael Bombelli, en Bologna, publica L´Algebra utilizando fracciones continuas para aproximar raíces cuadradas, obtiene una aproximación para la raíz cuadrada de trece.
      Pietro Antonio Cataldi, en 1613, en su Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadrata delli numeri, define raíz cuadrada y muestra un ejemplo, se trata de la raíz cuadrada de dieciocho, de aproximar raíces cuadradas por medio de fracciones continuas (FC).
      Ya el siglo XVI provoca un paso más en la evolución del algoritmo de FC al transformarse en uno de tipo “infinito”, pero esa es otra historia…

      Espero haber respondido tu pregunta, si te interesa seguir indagando sobre la fracción continua y su evolución histórica y epistemológica puedes acceder a:

      https://www.researchgate.net/publication/299398416_LA_FRACCION_CONTINUA_Y_EL_NUMERO_IRRACIONAL_PUNTOS_DE_ENCUENTRO_Y_ALGUNOS_APORTES_DIDACTICOS

      ¡Gracias Rosario por tu interés en mi trabajo!
      Saludos!

      1. La referencia de lo que he expresado es:
        Crisóstomo E., Ordoñez L., Contreras A., Godino J. D. (2005).Reconstrucción del significado global de la integral definida desde la perspectiva de la didáctica de la matemática. En A. Contreras, L. Ordoñez y C. Batanero (Eds.), Congreso Internacional sobre Aplicaciones y Desarrollos de la Teoría de las Funciones Semióticas. (pp. 125–166) Jaen, ESP: Universidad de Jaén.

  6. L i b r o s d e t e x t o e n l a i n v e s t i g a c i ó n

    Estimado Luis:
    Una práctica por parte del profesor es revisar diferentes libros de texto y elegir de ellos, no necesariamente de uno solo, diferentes explicaciones, ejemplos, ejercicios. En tu investigación la comparación de las configuraciones epistémicas del número irracional en tres libros de texto diferentes, tuvo un papel muy importante, ¿cuáles son las principales conclusiones de la comparación de libros de texto?

    Saludos cordiales.
    Liliana Suárez Téllez
    Docente del Instituto Politécnico Nacional

  7. El concepto de número irracional en bachillerato, en ingeniería y en ciencias

    Estimado Luis:

    Es verdaderamente interesante tu propuesta de cómo introducir a los estudiantes de bachillerato a los números irracionales. Y hay una fuerte diferencia entre la conceptualización de estos números en diferentes niveles. ¿Qué recomendaciones harías para un abordaje diferenciado del número irracional para bachillerato, para una licenciatura en ciencias y para una ingeniería?

    Rosario Guzmán
    Academia de Matemáticas
    Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas
    Instituto Politécnico Nacional
    México

    1. El concepto de número irracional en bachillerato, en ingeniería y en ciencias

      Estimada Rosario:

      Muchas gracias por la valoración de mi propuesta.

      Me gustaría intentar responder a tu pregunta, en principio, con una cita: “se reconoce al buen maestro por el número de temas valiosos que se abstiene de enseñar” (Richard Livigstone, 1941). Creo que lo que plantea la cita es muy importante ya que muestra una recomendación para los profesores que puede ayudarnos a diferenciar entre estos distintos niveles que tú señalas.
      En bachillerato, aunque desconozco como está estructurado el sistema educativo en México, seguramente habrá que diferenciar entre distintas modalidades: Artes, Ciencias, Economía, etc. , los alumnos entonces encontrarán sentido al número irracional en contextos determinados.
      Para el caso de la modalidad artes, por ejemplo, el número irracional como lo hemos señalado en el seminario, puede encontrar cabida en la arquitectura de la mano de los números mórficos, o sea del número de oro y del número plástico, algunas sugerencias de actividades las puedes encontrar en:

      http://revistasuma.es/revistas/57-febrero-2008/los-numeros-morficos.html

      El profesor tendrá que abstenerse de enseñar, en este nivel, nociones matemáticas que sólo tendrán sentido cuando se estudie algunos objetos matemáticos que implican lograr la conceptualización del infinito actual.
      Me refiero a nociones como: densidad, numerabilidad y cardinalidad del conjunto de los números irracionales, pensamos que el estudio de estas nociones debe ocurrir en niveles de licenciatura en ciencias.
      En ese contexto, de licenciatura, también tiene sentido la solución de ecuaciones diofánticas de Pell-Fermat y otros problemas los cuáles se pueden observar en:

      https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/BrahmaguptaFermatPellEnVI.pdf

      En ingeniería los números irracionales pueden resultar de utilidad para obtener secuencias binarias, por medio de fracciones continuas, y aplicarlas a sistemas de protección de la información

      http://www.scielo.org.mx/pdf/cys/v7n4/v7n4a6.pdf

      O también en el estudio de fractales, caos y cuasiperiodicidad como ya lo he señalado en otra respuesta.

      Por último, y a modo de postre, lo que te resultaba bastante extraño, las fracciones continuas de números complejos. Estas FC son debidas a dos hermanos Adolf y Julius Hurwitz, te sugiero leer la biografía de ambos, es apasionante.

      Oswald, N. (2014). A specialized mathematician: Julius Hurwitz, and an application of his complex continued fraction. In Summer School Diophantine Analysis (pp. 1–45). Wurzburg.

      http://www2.math.uni-wuppertal.de/~oswald/julius.pdf

      Oswald, N. M. R., & Steuding, J. J. (2014). Complex continued fractions: early work of the brothers Adolf and Julius Hurwitz. Archive for History of Exact Sciences, 68(4), 499–528. doi:10.1007/s00407-014-0135-7.

      http://link.springer.com/article/10.1007/s00407-014-0135-7

      En suma, dependerá del contexto de uso de la noción en los distintos niveles y de las actividades que plantee el profesor que deberán estar basadas en un “principio de necesidad” que haga necesario el uso de las diferentes nociones matemáticas con “sentido”.

      Saludos
      Luis

  8. Lo discreto y lo continuo.

    Estimado Luis:
    Reflexionando propuesta de incorporar las fracciones continuas como una estrategia que contribuye crear un significado para los números irracionales, me pregunto si puede servir también para trabajar “lo discreto” en el bachillerato, ¿cuál es tu punto de vista al respecto?

    Agradecemos tu participación.
    Liliana Suárez Téllez

    1. Estimada Liliana:

      Gracias por tu pregunta.
      Sí , es posible trabajar con la fracción continua (FC) lo discreto, de hecho en la ingeniería didáctica desarrollada primero se trabaja con FC “finitas” o sea con números racionales, de los cuáles algunos de ellos son exactos.
      Luego, en otras actividades, los alumnos “dibujan”, con elementos geométricos, la menor cantidad de cuadrados posibles dentro de una hoja de tamaño A4 y lo comparan con los resultados obtenidos en forma matemática por FC. Allí la interacción entre lo discreto, lo finito y lo matemático, lo ideal, es fuente de dificultades en las respuestas de los alumnos, que son muy interesantes de analizar.

      La FC permite también el cálculo del máximo común divisor entre dos números enteros y la resolución de ecuaciones diofánticas lineales que es posible trabajar en bachillerato.

      Muchas gracias a todo el grupo del SRM por permitirme contar, con humildad, algunas de las cuestiones que he investigado.

      Un gran saludo!
      Luis

  9. Número irracional en los libros de texto.

    Estimado Luis.

    En los libros de texto se privilegia la aproximación mediante decimales. Esta aproximación no es necesariamente una renuncia a estudiar los números irracionales y sus propiedades, pero si estudiamos los números irracionales a partir de la geometría dejamos de lado aquellos que no pueden representarse con regla y compás.
    Al parecer que cada vez que encontremos alguna forma de representar determinados números irracionales aparecerá un nuevo irracional que no pueda explicarse.
    ¿Que opina al respecto?

    Gustavo David Ferreyra
    Alumno IES 9-011 “Del Atuel”
    Mendoza Argentina.

    1. Estimado Gustavo:
      La representación geométrica, idealmente exacta, con regla y compás, como tú muy bien señalas, no permite la representación de todos los números irracionales sino solo de algunos de ellos. Pero esto último no impidió que los griegos encontraran solución aproximada a por ejemplo uno de los problemas clásicos griegos, la duplicación del cubo. Se cree que Menecmo, empleando la hipérbola y la parábola o “dos parábolas de vértice común” (Rey Pastor y Babini, 2000, 66-67) halló una solución aproximada de la raíz cubica de dos, solución del problema.
      Sin duda las representaciones de los números irracionales son didácticamente complejas de enseñar. Cada representación tiene potencialidades y limitaciones, cada una de ellas muestran algo pero también esconden algunas cuestiones. Así la representación decimal de un irracional no siempre permite el encuentro de regularidades y patrones que, a veces, en otras formas o bases, sí es posible hacerlo.
      En síntesis Gustavo, pienso que tú, como futuro profesor, tendrás que elegir las representaciones mejor adaptadas al proceso de construcción de los significados personales para tus estudiantes y que éstas además deben permitir la evolución en la conceptualización de la noción.
      Muchas gracias por la pregunta.
      Saludos
      Luis

  10. La importancia de los irracionales en las matemáticas.
    Doctor Luis Darío:
    Los números irracionales y las fracciones continuas suelen aparecer en secciones del tipo “curiosidades matemáticas”, “para saber más”, etc., normalmente desvinculadas de una verdadera actividad matemática y de un proyecto de enseñanza institucionalizado. De acuerdo con su experiencia sobre este tema ¿cómo cambiar enfoque de los números irracionales de ser mera curiosidad matemática a una situación importante de conocer y comprender por parte de los estudiantes?
    Saludos
    Docente Martha Luisa Rodríguez Reséndiz
    Colegio de Bachilleres del Estado de San Luis Potosí, Plantel 06, Cd. Valles, S.L.P.

    1. Estimada Martha:

      Desde nuestra experiencia, en base a la ingeniería didáctica realizada, partimos de una situación problema en un marco geométrico donde el alumno, en base a sus conocimientos previos, pudiera resolverla. De allí fuimos complejizando dicha situación hasta llegar a una actividad donde dicho marco resultase no económico para la resolución y fuese “necesaria” la incorporación de una herramienta matemática, en este caso la noción de fracción continua finita, que es un procedimiento finito.
      Luego a partir de nuevas actividades el procedimiento se transforma en infinito, allí la fracción continua infinita la cual corresponde a un número irracional que a su vez permite reconocer dichos números y diferenciarlos de los racionales.
      Se trata entonces de un tránsito flexible entre un proceso finito a otro infinito. Posteriormente la ingeniería integra el paso a la aproximación de números irracionales con el mismo algoritmo.
      Entonces para pasar de una mera curiosidad matemática a una situación importante de conocer y comprender, por parte de los estudiantes, creemos que dicha situación debe basarse en un “principio de necesidad matemática”, o sea el objeto matemático debe surgir en la situación como necesidad a un problema o una cuestión.

      Algunas propuestas que tal vez le pueden resultar interesantes:

      • “Un problema con números irracionales y una pizca de estilo griego”
      María Martha Ferrero (Universidad Nacional del Comahue, Argentina).

      http://www.sinewton.org/numeros/numeros/91/Articulos_02.pdf

      • “Fracciones continuas, números metálicos y sucesiones generalizadas de Fibonacci”
      REDONDO BUITRAGO, A. y HARO, M. (IES Diego de Siloé, Albacete- IES Al-Basit, Albacete, España).

      http://revistasuma.es/revistas/50-noviembre-2005/fracciones-continuas-numeros.html

      Saludos
      Luis

  11. Culturalización de los irracionales
    Doctor Luis Darío:
    Usted menciona de una falta de “cultura matemática” de base que ayude a los alumnos a entender la noción de infinito matemático, pero a su vez que será necesaria una intervención sostenida, específicamente diseñada, que permita la conceptualización del infinito matemático. ¿Qué mecanismos o estrategias docentes ha aplicado para modificar esta situación de poco conocimiento de los irracionales?
    Saludos
    Docente Martha Luisa Rodríguez Reséndiz
    Colegio de Bachilleres del Estado de San Luis Potosí, Plantel 06, Cd. Valles, S.L.P.

  12. Los irracionales y su estatus
    Doctor Luis Darío:
    ¿Que recomienda para cambiar el estatus de los irracionales de “accesorio y prescindible” en la actividad matemática considerando los programas de esta asignatura; a ser importantes e imprescindibles en el desarrollo de esta ciencia?
    Saludos
    Docente Martha Luisa Rodríguez Reséndiz
    Colegio de Bachilleres del Estado de San Luis Potosí, Plantel 06, Cd. Valles, S.L.P.

  13. La didáctica

    Hola!

    Estimados dr@s

    Es como siempre un gran placer el compartir estos espacios tan importantes de reflexión y me gustaría saber sin embargo, Condesse y Minnaard (2007) han razonado por qué algunos acercamientos didácticos a esta familia pueden ser importantes en diferentes niveles de la enseñanza. Y ¿Cómo ha sido este acercamiento didáctico? ¿Es in situ? ¿Cuáles han sido los retos o limitantes para poder desarrollar lo requerido?

    Domingo Márquez ortega
    FES-Cuautitlán UNAM

    1. La didáctica

      Estimado Domingo:

      Como le expresaba en la videoconferencia no conozco si éstas situaciones o tareas matemáticas han sido puestas en aula o cuáles son los retos o restricciones de llevar adelante tales tareas.
      Un acceso al documento puede tal vez contribuir a pensar en ello.
      El documento se encuentra en la Revista Iberoamericana de Educación perteneciente a la OEI.

      Condesse V., Minnaard C. (2007). La familia de los números metálicos y su hijo pródigo: el número de oro. Revista Iberoamericana de Educación.
      42(2), 10 marzo. Disponible en:

      http://rieoei.org/1522.htm

      Muchas gracias por su interés.

      Saludos
      Luis Reina

  14. Periodicidad o de la aperiodicidad numérica

    Estimado Lic. Luis Reina:
    Felicitaciones por su trabajo expuesto. Haciendo referencia al documento en estudio se menciona: El reconocimiento de la periodicidad o de la aperiodicidad numérica, por decimales, no es tan sencilla de visualizar por el alumno, salvo para casos muy sencillos, donde el período tiene pocas cifras o la aperiodicidad se manifiesta por una “ley de formación”. ¿De qué manera se puede trabajar con las TICs en el aula para el reconocimiento de la periodicidad y aperiodicidad numérica?

    Saludo atentamente.
    Analy Herrera.
    Alumna del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
    Instituto de Enseñanza Superior 9-011 “Del Atuel”
    San Rafael, Mendoza, Argentina.

    1. Periodicidad o aperiodicidad numérica

      Estimada Analy:

      Muchas gracias por la valoración del trabajo expuesto.

      En relación a lo que preguntas pienso que el trabajo con las TIC en el aula de matemática puede contribuir dado las “potencialidades” que posee dicha herramienta.
      Por ejemplo con programas como wxMaxima puedes observar miles de decimales de un número racional o irracional y allí estudiar la periodicidad y la aperiodicidad numérica. También puedes aproximar dichos números, por ejemplo, por fracción continua por medio de los “convergentes” de dicha fracción y analizar aproximaciones “por defecto” y “por exceso” de diferentes números reales.
      Con Geogebra puedes hacer que los alumnos exploren y diferencien números reales por su notación en fracción continua.
      Pero también debes ser consciente de las “limitaciones” del uso de las TIC, ya que, por ejemplo, no podrás representar exactamente un número irracional en la recta numérica que proponen los software actuales.
      Deberás tener en cuenta estas cuestiones al momento de proponer situaciones y tareas a los alumnos.
      Muchos saludos.
      Luis Reina

      1. Estimado Lic. Luis Reina:
        Muchas Gracias por su respuesta. Es un gran aporte para la Educación secundaria nos ayuda a reflexionar sobre nuestras prácticas y nos incentiva a la utilización de las Tics como una herramienta eficaz a la hora de enseñar diversos saberes.

        Saludo atentamente.
        Analy Herrera.
        Alumna del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
        Instituto de Enseñanza Superior 9-011 “Del Atuel”
        San Rafael, Mendoza, Argentina.

  15. Fracción de enteros y fracciones no enteras

    Estimado Lic. Luis Reina:
    Maravilloso trabajo. En el texto expresa: El reconocimiento de la diferencia número expresado en fracción de enteros de otras fracciones no enteras requiere también un proceso de estudio con los alumnos, no basta con el discurso del profesor. ¿Cuáles son las herramientas didáctica que podemos utilizar para el proceso de estudio con los alumnos?

    Saludo atentamente.
    Analy Herrera.
    Alumna del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
    Instituto de Enseñanza Superior 9-011 “Del Atuel”
    San Rafael, Mendoza, Argentina.

  16. Clasificación de dificultades

    Estimado Lic. Luis Reina:
    Quiero felicitarlo por su maravilloso trabajo expuesto. En el documento se manifiesta: Se adopta entonces, para el presente estudio, la clasificación propuesta por Arcavi para la clasificación de dificultades en torno a la visualización y se adapta para el reconocimiento de regularidades y patrones en la búsqueda de periodicidad y aperiodicidad numérica. Teniendo en cuenta las cuestiones epistemológicas, cognitivas y sociológicas. A partir de las dificultades que se presentan ¿Cuál de las cuestiones se visualiza con mayor frecuencia en la educación secundaria?¿Por qué?

    Saludo atentamente.
    Analy Herrera.
    Alumna del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
    Instituto de Enseñanza Superior 9-011 “Del Atuel”
    San Rafael, Mendoza, Argentina.

  17. Visualización del objeto matemático
    Estimado Lic. Luis Reina:
    Felicitaciones por el trabajo realizado. En el texto se alude: Lograr la “visualización” del objeto matemático número irracional no parece una tarea sencilla dada su complejidad, en otros trabajos se ha señalado esto último. Aun así, puede considerase de importancia avanzar, en Educación Secundaria, en el estudio de estos números y elegir las representaciones mejor adaptadas al proceso de construcción de los significados personales de los estudiantes. ¿Cuáles son las representaciones mejores adaptadas para la construcción de significados en dicho estudio?

    Saludo atentamente.
    Andrea Herrera.
    Alumna del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
    Instituto de Enseñanza Superior 9-011 “Del Atuel”
    San Rafael, Mendoza, Argentina.

  18. Aperiodicidad numérica

    Estimado Lic. Luis Reina:
    Excelente trabajo. En el documento se menciona: El tránsito entre la periodicidad numérica y la aperiodicidad no es “transparente” necesita ser cuestionado. Hay que preparar a los alumnos para el estudio de la aperiodicidad numérica. ¿En qué consiste “preparar a los alumnos” para el estudio de la aperiodicidad numérica?

    Saludo atentamente.
    Andrea Herrera.
    Alumna del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
    Instituto de Enseñanza Superior 9-011 “Del Atuel”
    San Rafael, Mendoza, Argentina.

  19. Mimetización de una noción matemática.

    Estimado Lic. Luis Reina:
    Felicitaciones por su trabajo. En el texto de referencia se expresa: La interacción con los números periódicos y aperiódicos induce a errores a los alumnos, una noción matemática se mimetiza en otra por su apariencia, por su forma. La irracionalidad se mimetiza en la racionalidad y la racionalidad se mimetiza en la irracionalidad. ¿Qué aportes desde la docencia se pueden realizar para que la mimetización no promueva errores en los alumnos?

    Saludo atentamente.
    Andrea Herrera.
    Alumna del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
    Instituto de Enseñanza Superior 9-011 “Del Atuel”
    San Rafael, Mendoza, Argentina.

    1. Estimada Andrea:

      Para superar las dificultades provocadas, en los alumnos, por la mimetización ostensiva de objetos matemáticos podemos sugerir por un lado lograr primero la estabilización en la conceptualización de la noción de periodicidad numérica.
      Se trata de un concepto “antiguo”, para los alumnos, que es necesario para el aprendizaje de la aperiodicidad numérica.
      El profesor debe tener en cuenta que el trabajo sólo con las expresiones decimales de los números irracionales no es suficiente para lograr la evolución en la conceptualización de la noción sino que se debe tener presente el estudio de las estructuras de origen de los números, o sea el reconocimiento de la aperiodicidad por su escritura en raíces, fracciones no enteras, etc.
      Una herramienta matemática que permite diferenciar números racionales e irracionales, y que utilizamos en la investigación, es la fracción continua, con ella intentamos superar algunas de las dificultades provocadas por este fenómeno didáctico.
      Muchas gracias por la pregunta y la valoración de mi trabajo.

      Saludos
      Luis

      1. Estimado Lic. Luis Reina:
        Muchas Gracias por su respuesta. Su contribución del saber de los números racionales y las maneras de abordarlo nos aporta distintas herramientas y recursos para la enseñanza en la Educación secundaria. nuevamente felicitaciones por su magnífico trabajo.

        Saludo atentamente.
        Andrea Herrera.
        Alumna del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
        Instituto de Enseñanza Superior 9-011 “Del Atuel”
        San Rafael, Mendoza, Argentina.

  20. Enfoque onto-semiótico de objetos matemáticos

    Buenas tardes Dr. Luis, fascinantes los estudios, la apropiación y desarrollo de la teoría onto-semiótica y la ingeniería didáctica en la comprensión sobre los números irracionales y su enseñanza.
    Me gustaría conocer sobre las razones que le motivaron a ubicarse desde este enfoque para la realización de sus estudios.
    Saludos,

    María Clara Bustos Gómez
    Docente
    Colegio Gimnasio Los Pinares
    Medellín, Colombia

  21. Números irracionales en primaria

    Buenas tardes Dr. Luis,
    Las expresiones decimales aparecen desde la primaria, específicamente con procesos de medición (ejemplo: longitudes) o en exploraciones que se realizan con la calculadora (fracción como división). También usamos regla y compás para hacer algunas construcciones geométricas. ¿Qué recomendaciones darías para tratar el objeto número irracional, o alguna de sus dimensiones, desde los primeros grados de enseñanza de las matemáticas?

    Saludos,

    María Clara Bustos Gómez
    Docente
    Colegio Gimnasio Los Pinares
    Medellín, Colombia

    1. Estimada María Clara:

      Desde nuestra perspectiva el número irracional en enseñanza primaria debería tratarse desde la aproximación numérica, por ejemplo, ¿cuál es la diferencia, para un mismo problema, en trabajar con uno, con dos o tres decimales?,¿ es significativa dicha diferencia? ¿en qué casos? Las construcciones geométricas, en ese nivel de enseñanza, como tú bien señalas, también son importantes desde el punto de vista de la aproximación.
      Se trataría entonces de integrar el paso de la aproximación como un procedimiento previo a un proceso infinito que tendrá cabida en otros niveles educativos.

      Saludos.
      Luis Reina

  22. Práctica docente
    Buenas noches Doctor Luis.
    Una felicitación por esta aportación interesante, conjunto de los números irracionales difícil de comprender para los alumnos de secundaria.
    En los textos de matemáticas del nivel de secundaria, solo se concreta en mencionar como usted lo da en su escrito, en la definición, su construcción y el valor de ellos por medio de la calculadora. Pero ya en la práctica solo dan su definición y su aplicación, en calcular la raíz cuadrada, sus aplicaciones como en el teorema de Pitágoras y en la resolución de las ecuaciones cuadráticas, nos da en algunas situaciones el valor de un número irracional.
    Mi pregunta es: ¿Es suficiente con ello, o se requiere que nuestros estudiantes de nivel secundaria, se enseñe el holosignificado basado en el estudio histórico de la noción?
    Saludos
    Norma Gutiérrez R
    CECyT “Carlos Vallejo Márquez”

    1. Práctica docente

      Estimada Norma:

      La noción de holosignificado permite determinar qué expresamos al afirmar que una persona comprende una determinada noción matemática. La adquisición del holosignificado supone la capacidad de poner en funcionamiento un pensamiento matemático flexible es decir, la capacidad de tránsito rutinario entre diferentes significados asociados a un objeto matemático, reconociendo las limitaciones propias de cada uno de ellos. Es una noción teórica la cual pensamos que es importante que el profesor conozca para el desarrollo de una ingeniería didáctica o una secuencia de enseñanza, no para que dicha noción se enseñe a los alumnos de secundaria.
      Como expresaba anteriormente en la respuesta a otra colega “se reconoce al buen maestro por el número de temas valiosos que se abstiene de enseñar” (Richard Livigstone, 1941), en este caso la historia de la matemática puede ayudarnos en la enseñanza de algunos aspectos de la noción de número irracional pero también puede resultar dificultosa para otros. El profesor tendrá entonces que evaluar las potencialidades y las dificultades de una aproximación histórica de la noción.

      Me alegro que le haya resultado interesante la investigación realizada.

      Saludos.
      Luis

  23. Buenas tardes a todos

    Estimado Luis

    Gracias por compartir su investigación y conocimiento de lo qué es un número irracional expresado de una forma racional. Realmente no puedo creer la profundidad en el que llego para busca la noción del complejismo conceptual de que es un número irracional y diferentes tipos de números irracionales. No cabe duda que es inmenso el universo de los números. Y prounduzarlo de la manera que lo hace para la enseñanza en la educaciôn secundaria y la compresión del concepto.
    Gracias Dr. LUIS
    Porque me incitiva para hacer algunas anotaciones. E indagar en el tema.

    1. Estimada María:

      Es una gran alegría para mí que le haya resultado de interés el tema expuesto y una alegría aún mayor que le haya dejado algún incentivo para que continúe indagando y profundizando el tema. ¡Buena lectura!

      Muchas gracias por sus valoraciones sobre mi trabajo.

      Un gran saludo.
      Luis

  24. desde una mirada un poco mas sencilla resulta interesante que el estudiante entienda la importancia de los números racionales, como por ejemplo porque Pi no es simplemente 3 y la importancia que implican en las figuras o porque la excentricidad de una elipse no es 1, y las variantes que en la misma figura crean las aproximaciones.
    la tecnología es una buena herramienta para demostrarlo de forma mas rápida al realizar diversas gráficas con sus secuencias numéricas en decimales.
    saludos

    1. Hola!
      Gracias Estimada Martha Guadalupe bien lo menciona
      La tecnología es una buena herramienta para demostrarlo de forma más rápida al realizar diversas gráficas con sus secuencias numéricas en decimales. con lo que demuestra los valores en este caso del número Pi con la cantidad de decimales que uno requiera 10 dígitos, 100 o más dígitos es sorprendente como cambia la concepción de las cantidades y el significado de dicho número Pi, por dar un ejemplo con Software Maple

      Saludos
      Atte. Domingo Márquez
      FES-Cuautitlán UNAM

  25. Buenos días compañeros (as) del seminario.
    Es muy interesante el trabajo puesto que la estrategia que plantea del ejemplo de las alfombras. Los nombres de los números como los esquizofrénicos me llamó la atención sus nombres.
    ¿Qué criterios se utilizan al redondear los números? ¿Cómo manejar las argumentaciones con los estudiantes si se tiene limitaciones de ello?
    ¿Cree que se debe modificar la manera de enseñanza aprendizaje al implementar estos números?
    Saludos. Bertha Alicia Alviso Nájera Emsad 04. Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí.

  26. Buenos días compañeros del seminario.
    Se deben de contemplar problemas de la vida real, aunque cabe mencionar que los estudiantes tienen deficiencias en la distinción de números irracionales.
    El estudio que hace en los libros de texto es muy valioso.
    ¿Qué libro de matemáticas considera utilizar en el nivel medio superior con las adecuaciones pertinentes sobre el desarrollo de la periodicidad entre otros elementos como de sus propiedades de los números?
    ¿En qué libros de texto se encuentran estrategias como las que usted plantea?
    ¿De los elementos que se consideran en una situación problema que es lo que se debe de contemplar primeramente con los estudiantes al momento de la planeación en una clase? ¿cuanto tiempo es recomendable ?
    Saludos. Bertha Alicia Alviso Nájera Emsad 04. Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí.

  27. Hola a los compañeros(as).
    Es importante considerar que cada vez el docente debe de contemplar varias competencias sin embargo creo que necesitamos prepararnos en ese aspecto en el manejo de paquetes informáticos como el uso de maple.
    El docente debe de considerar el lenguaje, propiedades, argumentos entre otros que contribuyen el pensamiento matemático.
    ¿Qué tan pertinente es el uso del maple en el nivel medio superior?
    ¿Cómo manejar los conflictos semióticos de tipo cognitivo en los estudiantes como se les puede apoyar?
    Saludos. Bertha Alicia Alviso Nájera Emsad 04. Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí.

  28. Estimado Dr Luis,
    Gracias por permitirnos aproximarnos a algunos números como los Cebra, los Metálicos y los Plásticos, que no sabía que existían.
    Resulta muy interesante las aproximaciones que presentas para que los estudiantes del bachillerato se acerquen a conceptualizar los números irracionales.
    Quisiera saber si desde tu experiencia y la de tus colaboradores tienen alguna propuesta para acercar a los niños de primaria a unas nociones iniciales acerca de los números irracionales.

    Muchas gracias,

    Olga Emilia Botero Hernández
    Universidad de Antioquia y Golegio Gimnasio Los Pinares
    Medellín – Colombia

  29. Estimado Luis, cordial saludo.
    Al presentar los resultados del trabajo realizado con futuros profesores, mencionas en una de las conclusiones que “Los futuros profesores no lograron un conocimiento que les permitiera zanjar el problema de la distinción entre las cardinalidades de los conjuntos infinitos, seña de esto último es la manifestación de fenómenos de tipo didáctico como los de dependencia, aplastamiento y asimetría de cardinales infinitos por inclusión.”
    Me queda claro cuál es el problema relacionado con “la distinción entre las cardinalidades de los conjuntos infinitos”, pero no de la misma manera lo relacionado con los otros fenómenos que describes: dependencia y aplastamiento. ¿Puedes darnos una corta explicación?

    Muchas gracias,

    Olga Emilia Botero Hernández
    Universidad de Antioquia y Colegio Gimnasio Los Pinares
    Medellín – Colombia

    1. Hola!
      Gracias Estimada Olga Botero como bien lo mencionas
      “Los futuros profesores no lograron un conocimiento que les permitiera zanjar el problema de la distinción entre las cardinalidades de los conjuntos infinitos, seña de esto último es la manifestación de fenómenos de tipo didáctico como los de dependencia, aplastamiento y asimetría de cardinales infinitos por inclusión.” Es de suma importancia la formación de recursos humanos capaces de formar a las generaciones nuevas en toda labor académica.

      Saludos cordiales para Colombia
      Atte. Domingo Márquez

    2. Estimada Olga, cordial saludo:

      Los dos fenómenos didácticos por los que tu te interesas han sido señalados por los investigadores Gianfranco Arrigo y Bruno D’Amore en:
      Arrigo G. y D’Amore B. (1999). ‘Lo veo, pero no lo creo’. Obstáculos
      epistemológicos y didácticos en el proceso de comprensión de un teorema de
      Georg Cantor que involucra al infinito actual. Educación matemática, 11(1), 5–
      24.
      Voy a intentar explicarlos:
      En el caso del fenómeno de “aplastamiento” de cardinales infinitos, para algunos estudiantes la cardinalidad de Q es la misma que la cardinalidad del conjunto de los irracionales porque son “infinitos”, entonces “aplastan” dichas cardinalidades. Este fenómeno didáctico lo pudimos observar en nuestro estudio (tabla 2, p.634) (Reina,Wilhelmi, Carranza y Lasa,2014 629-637).
      El fenómeno didáctico de “dependencia” de cardinales transfinitos tiene que ver con cuestiones de “medida”, por ejemplo: “en un segmento largo existan más puntos que en un segmento más corto” (Arrigo y D’Amore,1999,8).
      En el caso de nuestro estudio, por ejemplo, un estudiante utiliza una imagen visual para argumentar, al comparar la cantidad de elementos del conjunto de los números naturales y el de los enteros, marcando una cuestión de tamaños, “los dobla en cantidad a los de los naturales”(Figura 3, p.633) (Reina, Wilhelmi, Carranza y Lasa,2014, 629-637),.
      Espero haber sido claro en la respuesta, muchas gracias por tus inquietudes.
      Muchos saludos
      Luis Reina

  30. Buenas noches estimado luis, cordial saludo.

    Con base en las conclusiones para la formación de profesores: noción de número irracional, de holo-significado, de fracción continua, de número construible y de asimetría de cardinales por inclusión, quisiera preguntarle si han desarrollado una propuesta para llevar a cabo esta formación de profesores que incluya los elementos antes mencionados y, de ser así, qué nos puede contar sobre ella.

    Muchas gracias.

    Olga Emilia Botero Hernández
    Universidad de Antioquia y Colegio Gimnasio Los Pinares
    Medellín – Colombia

    1. Estimada Olga
      El Dr. Luis menciona que “La noción de holosignificado permite determinar qué expresamos al afirmar que una persona comprende una determinada noción matemática. La adquisición del holosignificado supone la capacidad de poner en funcionamiento un pensamiento matemático flexible es decir, la capacidad de tránsito rutinario entre diferentes significados asociados a un objeto matemático, reconociendo las limitaciones propias de cada uno de ellos. “. Esto nos permite poder buscar una estrategia adecuada durante el proceso de enseñanza-aprendizaje.
      Saludos,
      Claudia Flores Estrada

      1. Estimadas Olga y Claudia:
        Como muy bien señala Claudia en la cita, se trata de lograr una visión holística del objeto matemático que te permita un pensamiento matemático flexible y un tránsito rutinario entre diferentes significados parciales asociados a dicha noción matemática.
        Lograr la conceptualización del objeto número irracional, en estudiantes, requiere de mucho tiempo, desde que comenzamos a conocer al número pi (como un número racionalizado) en enseñanza primaria, hasta involucrarnos de lleno en las problemáticas del infinito actual en enseñanza superior y universitaria logrando así su conceptualización, sin duda ha pasado mucha agua bajo el puente.
        Deberíamos tener en cuenta estas cuestiones al momento de llevar adelante propuestas de enseñanza de los números irracionales en los diferentes niveles del sistema educativo.
        Como expresé anteriormente en otras respuestas, el profesor de secundaria deberá guardarse para él algunas aspectos y significados referidos al número irracional que sólo tendrán sentido en educación universitaria.
        Muchas gracias Olga por tus inquietudes y muchas gracias Claudia por tus aportes.

        Muchos saludos
        Luis Reina

  31. Objetos Matemáticos

    Como bien se menciona en el resumen de excelente documento configuraciones epistémicas asociadas al número irracional de Luis Reina donde se habla de los significados de dicha noción. Estos significados pueden ser descritos
    Mediante configuraciones y diferentes objetos matemáticos (situaciones, acciones, lenguaje, conceptos, propiedades y argumentos). Es importante lograr una comprensión y me atrevería a decir para transmitir el conocimiento a cualquier nivel de un proceso de análisis matemático.
    Saludos
    Atte. Domingo Márquez
    FES-Cuautitlán UNAM

  32. Verbal, gráfico y simbólico

    El concepto de número irreal se ve intrínsecamente relacionado con las definiciones de episteme y de cognitivo por medio del análisis de libros de texto. La intención es el análisis de ausencias o presencias de conocimiento matemático.
    Recordemos que durante las diversas lecturas que se realizaron en el curso del seminario es que las dinámicas de aprendizaje cognitivo. La relevancia del estudio es demostrar la importancia que tiene ante los números irracionales en la vida futura del alumno. La construcción y comunicación matemático se debe analizar bajo la premisa de que las matemáticas han estado presentes en la historia de la humanidad y que en la actualidad se sigue realizando la conformación de la historia del hombre con la inclusión de las matemáticas a la vida diaria, por lo tanto es indispensable que se incluya la episteme de las matemáticas para proveer de una población informada y que tenga la capacidad de tomar decisiones desde otro punto de vista.
    El móvil del análisis se basa en los irracionales y la necesidad de enseñar las fracciones continuas en nivel secundarias será la base de la posterior enseñanza en niveles posteriores.
    Cómo dicen los autores <>.
    La dificultad de la episteme de los números irracionales se encuentra en varias escalas, por un lado al docente que debe transformar el proceso cognitivo de los números racionales para pasar a la relevancia de los irracionales. En otro plano tenemos las dificultades del aprendizaje cognitivo del estudiante, pues trae consigo una carga de información con la que llega al salón de clase.
    Bibliografía
    Reina, L., Wilhelmi, M. R., Lasa, A. (2012). Configuraciones epistémicas asociadas al número irracional. Sentidos y desafíos en Educación Secundaria. Educación Matemática, 24(3) ,67–97

    Nory Andrea Poot Vélez
    Estudiante de doctorado de
    Desarrollo Científico y Tecnológico
    para la Sociedad
    CINVESTAV del IPN

  33. Algebra:

    Los números <> (Reyna, 2014) [Cuadro 1 de la serie clasificación de funciones]
    El problema radica en que él estudiante no logra distinguir la diferencia entre los conceptos expuestos en el cuadro superior, esto es expuesto con claridad en la investigación que se nos presenta en el texto guía Reina, Carranza y Lasa, la investigación exponer que los alumnos no distinguen el infinito numerable del continuo y que por lo tanto en niveles tempranos, en este caso la secundaria, la cantidad de lagunas algebraicas es por demás preocupante. [Cuadro Respuestas al ítem 9, grupos B, C y D]
    Aunque en el texto se exponen una variedad de soluciones y entre ellas la más lógica de todas, es tener personal capacitado, la realidad es que se necesita un ejercicio mayor de sinergia para alcanzar la meta de alfabetización matemática.

    Bibliografía
    Reina, L., Wilhelmi, M. R., Carranza, P., & Lasa, A. (2014). Construcción de la noción de número irracional en formación de profesores: conflictos semióticos y desafíos. En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 27: 629–637
    Clasificación de funciones. Presentación [En línea]. Recuperado de: http://es.slideshare.net/laloEPS/clasificacion-de-funciones-eduardo

    Nory Andrea Poot Vélez
    Estudiante de doctorado de
    Desarrollo Científico y Tecnológico
    para la Sociedad
    CINVESTAV del IPN

    PD. Debido a la programación de la página, no pude agregar los cuadros.

    1. Estimada Nory:

      Las respuestas producidas por los estudiantes (tabla 4) que tu señalas, corresponden a alumnos de profesorado de Matemática, de nivel terciario no universitario (en Argentina son estudiantes que han salido del bachillerato).
      La noción matemática que nos interesaba estudiar es la “densidad del conjunto de los números irracionales”. Notamos allí, luego de los estudios realizados, varias dificultades que manifestaban los estudiantes mostrando una conceptualización inestable de dicha noción.
      Esto, por supuesto, no contribuye a una construcción viable y eficaz de la noción de número irracional ni a la del conjunto de los números irracionales.
      Nosotros pensamos que en necesario primero lograr en enseñanza secundaria (y bachillerato) una conceptualización más estable de la noción de densidad del conjunto de los “números racionales” que permita, posteriormente, en otros niveles educativos, la conceptualización de la densidad de los irracionales.
      La complejidad didáctica de dicha noción implica que debemos realizar actividades de enseñanza que permitan una conceptualización más estable de dicha noción y para esto es importante que el profesor tenga presente dicha complejidad como así conocimiento de las dificultades y fenómenos didácticos que se pueden presentar a la hora de la enseñanza y el aprendizaje de las propiedades de dichos números.

      Saludos
      Luis Reina

  34. Algebra:

    Los números “irracionales se presentan entonces no sólo “paso obligado” para la apropiación de otras nociones como la del límite funcional sino como un objeto de gran complejidad para su enseñanza y aprendizaje” (Reyna, 2014) (Diapositiva 1 correspondiente a la serie Clasificación de funciones)
    El problema radica en que él estudiante no logra distinguir la diferencia entre los conceptos expuestos en el cuadro superior, esto es expuesto con claridad en la investigación que se nos presenta en el texto guía Reina, Carranza y Lasa, la investigación exponer que los alumnos no distinguen el infinito numerable del continuo y que por lo tanto en niveles tempranos, en este caso la secundaria, la cantidad de lagunas algebraicas es por demás preocupante. (Tabla: Respuestas al ítem 9, grupos B, C y D)
    Aunque en el texto se exponen una variedad de soluciones y entre ellas la más lógica de todas, es tener personal capacitado, la realidad es que se necesita un ejercicio mayor de sinergia para alcanzar la meta de alfabetización matemática.

    Bibliografía
    Reina, L., Wilhelmi, M. R., Carranza, P., & Lasa, A. (2014). Construcción de la noción de número irracional en formación de profesores: conflictos semióticos y desafíos. En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 27: 629–637
    Clasificación de funciones. Presentación [En línea]. Recuperado de: http://es.slideshare.net/laloEPS/clasificacion-de-funciones-eduardo

    Nory Andrea Poot Vélez
    Estudiante de doctorado de
    Desarrollo Científico y Tecnológico
    para la Sociedad
    CINVESTAV del IPN

    Pd. Debido a la programación de la página, no se pudieron agregar los cuadros.

  35. Educación básica, nivel secundaría

    Lo complejo del sistema de enseñanza en México nos muestra que existe una clara separación entre los niveles escolares, en cuanto a contenidos, metodologías y especialización de los docentes.
    La nula conformación de un cuerpo de maestros que se instruyan como especialistas en el conocimiento y no tanto en la pedagogía nos indica la principal carencia que tiene el sistema, porqué ¿qué se enseña?, ¿de qué manera?
    Al final ¿es más importante la forma que el contenido? La realidad es que tenemos maestros que si son especialistas, pero son los menos y de estos que son ya pocos algunos carecen de las técnicas pedagógicas que le permitan al estudiante llegar a la interiorización del conocimiento, siendo profesores obligadamente tradicionalistas sin ningún miramiento a tener una clase con algo de incertidumbre. Los propios profesores de secundaria, o en cualquier nivel llegan a decirte si yo te digo que es verde ¡así es!
    En el kínder, a mi hermano le guio un especialista en matemáticas (el novio de la maestra que era estudiante de matemáticas en él IPN) y eso marcó su interés por el estudio. Canalizo lo que muchos otros hubieran tachado de dispersión, falta de atención, algún tipo de retraso, etc. La realidad es que los maestros si te marcan.
    Ahora él es investigador.
    ¿Qué tan importante es colocar a personal capacitado en las aulas? ¿Con el discernimiento para identificar niños con capacidades especiales (niños genio)? En nuestro país ese aspecto ni se cuenta, a los niños se es tacha de una clase de retrasados, cuando lo que está retrasado y sumido en una clase de obscurantismo es el sistema de educación escolar, incapaz de socializar patrones culturales o tener la sensibilidad de identificar y canalizar a los niños genio para el correcto desarrollo de sus habilidades y que posteriormente influyan en el desarrollo de la nación.
    Se les deja a la deriva y se confía en que sean lo suficientemente: fuertes, inteligentes, valientes…, etc. para abatir cualquier clase de dificultad que encuentren, desde un profesor miope de inteligencia, carente de sentido pedagógico, que los pueda abusar física o psicológicamente. ¿Qué se espera entonces del desarrollo educativo nacional? Pero lo más importante ¿qué se puede hacer?

    Nory Andrea Poot Vélez
    Estudiante de doctorado de
    Desarrollo Científico y Tecnológico
    para la Sociedad
    CINVESTAV del IPN

  36. La fracción continua
    La descripción, búsqueda y argumentación consideradas en la fracción continua, fracción continua simple, fracción continua ascendente y la fracción continua simple finita permite a que el docente mejore su práctica docente y no sea solo un ejercicio más en la enseñanza de las matemáticas.
    Mencionas que Lagrange probó como un número es irracional cuadrática si y solo sí su descomposición en fracciones es periódica.
    Tema interesante que abordas en las diferentes referencias proporcionadas.
    Saludos,
    Claudia Flores Estrada
    CECyT 5 BJ

    1. Estimada Claudia, un gusto saludarte:

      Una de las cuestiones que más llamó mi atención al estudiar este tema fue el hecho que un número irracional puede ser periódico (con periodicidad pura o mixta) ,si se expresa como fracción continua, algo que como tú señalas fue demostrado por Lagrange.
      También algunos números irracionales pueden desarrollarse como fracción continua “cuasiperiódica” como el número “e” .
      Todo esto es importante porque amplía el panorama de las características de los números irracionales al expresarlos de otra forma, ya no sólo podemos “verlos” en su expresión decimal aperiódica sino que pueden periódicos, en fracción continua, y además emergen regularidades y patrones que no aparecen si los expresamos en su forma decimal. Es más aparecen “familias” de números.
      Como lo expresé en otra respuesta creo que se abren varios mundos por explorar e investigar.
      Muchas gracias por tu interés.

      Muchos saludos.
      Luis Reina

  37. Motivación.

    ¡Hola a todos!
    Me gustaría agradecer al maestro Luis por su interesante aportación al Seminario.
    Considero bastante enriquecedor el trabajo aquí presentado ya que a la vista salta el interés que ha causado el tema dentro de este público, no obstante considero que dentro del aula necesitamos este tipo de contenido donde, se espera, no solamente captará la atención de los estudiantes hacia las matemáticas, sino que aporta madurez en este proceso en el que se encuentra el alumno (intentando entender y empezar una aproximación al infinito).

    Un saludo.
    Amaranta Martínez De La Rosa,
    estudiante de la ESFM – IPN.

    1. Estimada Amaranta:

      Coincido contigo que es necesario captar la atención de los estudiantes hacia las matemáticas y agregaría que es importante que no vean a la matemática como algo estático, ya construido, sino un edificio en construcción y en continua dinámica que va planteándose nuevos desafíos.
      Como tú muy bien señalas se trata que el estudiante vaya evolucionando en su construcción del infinito, se trata de un tránsito que debería ser flexible entre un infinito potencial y el infinito actual,el cual llevará varios años de escolaridad, y sólo alcanzará su nivel más elevado en Educación Superior.
      Muchas gracias por tus palabras de agradecimiento, para mí es muy enriquecedor compartir con estudiantes algunas cuestiones que he podido investigar y que además les resulte interesante, me alegra de sobremanera.

      Un saludo.
      Luis Reina

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