¡Bienvenidos a la sesión 75 del Seminario Repensar las Matemáticas!
Estudio didáctico de la completitud del conjunto de los número reales
29 de abril de 2015, 13:00 hrs, México
En esta sesión José Luis Torres Guerrero, del CECyT 7, IPN, y Luis Darío Reina, del Instituto de Enseñanza Superior «Del Atuel», Argentina, dialogarán con
Analía Bergé
de la Université du Québec à Rimouski, Canadá
El material alrededor del cual girará este dialógo será:
Bergé A., Sessa C. (2003). Completitud y continuidad revisadas a través de 23 siglos. Aportes a una investigación didáctica. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 6 (3), 163–197.
También puedes complementar tu lectura con el siguiente material:
Bergué, A. (2006). Análisis institucional a propósito de la noción de completitud del conjunto de los números reales. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 9, 1, 31-64.
Bergé A. (2010). Students’ perceptions of the Completeness Property of the Set of Real Numbers. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 41(2), 217–227.
Analiza el documento de referencia, reflexiona sobre los contenidos e interacciona con la investigadora invitada y otras personas interesadas en profundizar sobre los resultados de la investigación educativa y la forma en cómo vincularlos con la práctica docente.
Seminario Repensar las Matemáticas 
Objeto físico versus objeto matemático
Estimada Analia:
La “imagen mental” de la recta que se apoya en representaciones físicas, materiales, muy usada en la enseñanza secundaria, ¿puede crear dificultades didácticas a la hora de una apropiación eficaz de las nociones de continuidad de la recta y de completitud del dominio numérico en enseñanza superior o universitaria?
Felicitaciones por tu trabajo realmente me resulta muy enriquecedor.
Saludos
Luis Reina
Instituto de Enseñanza Superior «Del Atuel». San Rafael. Mendoza. Argentina.
Respuesta a la pregunta de Luis
Muchas gracias Luis por apreciar mi trabajo. Agradezco empezar con esta pregunta ya que me da pie para que todos estemos de acuerdo en saber de qué hablamos cuando hablamos de completitud del conjunto de los números reales y de continuidad de la recta.
En la mayoría de las universidades el aprendizaje del conjunto de los números reales se realiza de manera progresiva a lo largo de varios cursos (en general una matemática de base, uno o dos cursos de cálculo, y finalmente según las orientaciones, hay cursos de análisis matemático (generalmente análisis real).
Una de las propiedades esenciales de este conjunto es la completitud. ¿En qué consiste esa completitud? Es la propiedad que permite que los teoremas que uno se espera que sean válidos en Análisis, lo sean, finalmente.
Por ejemplo uno se espera que sea válido el teorema de Bolzano, que afirma que si una función continua definida en un intervalo real (completo) toma en sus extremos valores de diferente signo entonces la función tiene un cero en ese intervalo real. Si una función, aun continua, no estuviera definida en un dominio completo, esa propiedad no sería válida.
Uno se espera también que si una sucesión es creciente pero acotada, tenga un límite. Para estar seguros que ese límite pertenezca al conjunto numérico en cuestión, dicho conjunto debe ser completo. Esta es una característica importantísima del conjunto de los números reales, que pasa un poco desapercibida. Es gracias justamente a esta propiedad que “a todo desarrollo decimal (finito, periódico o no periódico) corresponde un número real”.
Otro ejemplo, muy utilizado en Análisis matemático: la determinación de un elemento de un conjunto vía la intersección arbitraria de intervalos encajados. Solo puede asegurarse la existencia de ese elemento intersección si el conjunto numérico en juego es un conjunto completo.
Asique decimos que R es un cuerpo ordenado completo. Q es un cuerpo ordenado, pero no cuenta con la característica de ser completo.
Cuerpo (conjunto munido de dos operaciones: suma y producto, con las propiedades que conocemos: conmutatividad, asociatividad, existencia de un neutro para cada una y de un inverso, también la propiedad distributiva), y ordenado básicamente que haya un orden total entre sus elementos. ¿Y completo? ¿Cómo se define? En la mayoría de los textos aparece expresada via el axioma de supremo (todo subconjunto no vacío y superiormente acotado tiene un supremo) pero también esta propiedad puede expresarse justamente mediante caracterizaciones equivalentes como pedir que toda sucesión de Cauchy sea convergente en R o que toda sucesión acotada de R tenga una subsucesion convergente en R.
Es decir, las condiciones mínimas de un cuerpo que sea un dominio adecuado para desarrollar el cálculo, para desarrollar el análisis matemático es que sea ordenado, denso y completo (o continuo, si lo pensamos para la recta), en donde todo desarrollo decimal como decíamos represente un numero bien definido. Esta idea de continuo (que se visualiza en los gráficos de funciones en un par de ejes cartesianos) no trajo problemas hasta que fue necesario probar la existencia de ciertos números como máximos, mínimos, ceros, límites, etc.
Entonces, y para volver a tu pregunta, la continuidad de la recta es lo “equivalente” a la completitud de R. Solo que en la recta se ve, y como se ve, uno no se interroga sobre esta cuestión…
Justamente la completitud puede “pasar desapercibida” por mucho tiempo y quizás para siempre, dependiendo de las tareas que como alumno uno deba realizar. Pero ese tema lo desarrollaré en otras preguntas.
En particular la recta de la que Luis habla en su pregunta juega un rol fundamental para el aprendizaje (¡o no aprendizaje!) de la completitud.
Cuando en primer año de la universidad uno quiere enseñar el teorema de Bolzano, los alumnos suelen sorprenderse: ¿para qué hace falta un teorema para demostrar algo que es evidente?
En este teorema se ponen en juego la noción de función continua, la noción de recta y su continuidad, la noción de números reales y su completitud y también la correspondencia entre puntos y números.
Sin embargo, la idea de recta continua es tomada como un hecho natural, lo mismo que la identificación de puntos con números y es por eso que este teorema es percibido como evidente. Lo que es evidente es el punto sobre el dibujo. Pero… ¿hay un número para ese punto?
Si queremos que este teorema deje de ser evidente, si queremos que la completitud tenga algún sentido para los alumnos es necesario “problematizar” la evidencia geométrica de la continuidad de la recta. Ciertas imágenes mentales de la recta pueden no favorecer esta problematización.
Buenos días Analía:
Sin duda las representaciones que nos hacemos de los objetos matemáticos sumados a la percepción visual de los objetos físicos, a veces, en lugar de ayudarnos perjudican nuestra construcción de la noción matemática.
Será necesario entonces, que nosotros los docentes, estemos atentos a estas cuestiones didácticas que influyen en el aprendizaje de nuestros alumnos.
Muchas gracias por tu respuesta!
Luis Reina
ahcarmona
El constructo de Número Real implica desde el punto de vista disciplinar de la matemática que es un elemento abstracto, autónomo y no tangible por ende cada persona lo percibe de distinta manera de acuerdo a la construcción de experiencias con las cuales se va apropiando de este saber y de cómo organiza estas experiencias en su proceso de cognición. Entonces la completitud para construir y desarrollar el concepto y sus proposiciones así como la estructura de esas proposiciones del número real pasa por los casos con que construye sus experiencias, la pertinencia y aplicabilidad de sus vivencias y del bagaje teórico que le es facilitado.
Conjunto o Universo de los Números, Subconjuntos, atributos y propiedades, representación gráfica, elementos del modelo cartesiano, espacios y subespacios, punto, línea, intervalos. Expresión desarrollada de los numero. ¿por donde empezar?
ahcarmona.
El constructo de Número Real implica desde el punto de vista disciplinar de la matemática que es un elemento abstracto, autónomo y no tangible por ende cada persona lo percibe de distinta manera de acuerdo a la construcción de experiencias con las cuales se va apropiando de este saber y de cómo organiza estas experiencias en su proceso de cognición. Entonces la completitud para construir y desarrollar el concepto y sus proposiciones así como la estructura de esas proposiciones del número real pasa por los casos con que construye sus experiencias, la pertinencia y aplicabilidad de sus vivencias y del bagaje teórico que le es facilitado.
Conjunto o Universo de los Números, Subconjuntos, atributos y propiedades, representación gráfica, elementos del modelo cartesiano, espacios y subespacios, punto, línea, intervalos. Expresión desarrollada de los numero. ¿por donde empezar?
26 Enero de 2016.
La axiomática en la enseñanza
Analía, uno de los problemas que identificas tiene que ver con la presentación axiomática del conjunto de los números reales en la enseñanza universitaria. ¿Podrías ampliarnos un poco más acerca de esta problemática detectada y el estudio realizado para hallarla?
Saludos
Luis Reina
Instituto de Enseñanza Superior «Del Atuel». San Rafael. Mendoza. Argentina.
Respuesta a la pregunta de Luis
En los cursos que yo analicé para realizar este trabajo, R se define axiomáticamente, en la primera o a lo sumo segunda semana de clase. Los axiomas utilizados son los de cuerpo, ordenado y completo. Desde que yo era estudiante me intrigaba de donde había salido el axioma de supremo que es el que se usa casi siempre para definir a R. Me parecía tan raro.
El primer matemático que definió R axiomáticamente fue Hilbert, en 1899. Hilbert. En ese mismo trabajo él compara dos métodos de trabajo matemático: el método genético (digamos un método constructivo) y el método axiomático.
Y Hilbert dice que reconoce el valor pedagógico y heurístico del método genético, pero que para la presentación final y definitiva, y para la seguridad lógica del contenido, es preferible el método axiomático.
Sin duda que los axiomas ponen a disposición enunciados claros que serán la base del trabajo. Pero no se puede desconocer que justamente los axiomas son la etapa final de un trabajo matemático (tal como lo dice Hilbert) y que si se comienza un tema a partir de los axiomas se borra como dice Brousseau de un plumazo todo ese trabajo todas esas idas y vueltas que desembocan en la formulación de dicho axioma.
Vemos un problema ahí!
En el artículo de RELIME decíamos con Carmen que se puede trabajar con una parte de la teoría, mostrando los teoremas que son necesarios para el trabajo y los axiomas como los puntos de partida necesarios para poder contar con esos teoremas. Eso no solamente favorece comprender ese axioma, sino también de manera más transversal, lo que es una teoría axiomática.
Hay un libro de texto que ha hecho esto. Es el Calculus de Spivak. Este maravilloso autor avanzó lo más que pudo, hasta que llego al punto de decir: “ahora quisiéramos probar que una función continua alcanza el máximo cuando está definida en un intervalo cerrado, pero no podemos, con las propiedades de los números que hemos definido hasta ahora no alcanza” (eran las de cuerpo ordenado) y muestra por qué. Y se mete despacito, mostrando que qué manera la existencia del supremo es necesaria para poder demostrar la existencia de este máximo. Es formidable, hoy en día lo pienso y me emociona, va en el mismo sentido que el maravilloso ensayo de Imre Lakatos, “Pruebas y refutaciones”.
Saludos!
Buenos días Analía:
Leyendo tus palabras entonces podemos rescatar la importancia, en un primer curso de universidad, de «esperar» el momento oportuno para la entrada axiomática de R. Tal vez hasta demorar un poco dicha entrada hasta tanto se haya «preparado el terreno» para tal axiomatización.
Se trata de que los alumnos se vayan introduciendo de a poco y con sentido en la complejidad didáctica de la axiomatización del dominio numérico real.
Muchas gracias por tu respuesta!
Saludos.
Luis Reina
Los momentos en la formación y la completitud
Estimada Analía:
Una reflexión que se propone en el texto apunta al “estatuto que tiene la completitud para el alumno en los diferentes momentos de su formación”. Puedes relatarnos algunos de los resultados obtenidos por ustedes, en la investigación didáctica realizada, en relación con esa problemática?
Saludos
Luis Reina
Instituto de Enseñanza Superior «Del Atuel»
San Rafael. Mendoza. Argentina.
Estimado Luis,
Gracias por tu pregunta, revisemos un poquito primero esto de diferentes estatutos de la completitud. La completitud no estuvo siempre definida, fue definida (¡o creada podríamos decir!) a finales del siglo 19. Pero el cálculo y el análisis matemático se desplegaron bastante antes. Evidentemente, ¡se las arreglaban sin esa definición! Un poco parecido a como vemos que hacen nuestros estudiantes actuales.
Una revisada histórica nos permite detectar diferentes estatutos que ha tenido la completitud (una evidencia, una característica que parecía ser naturalmente verificada, una condición deseada que se puede reflejar en una construcción, una condición que se impone en una definición axiomática). ¿En qué medida se reflejan esos estatutos en las respuestas de los alumnos?
Para hacer esta investigación analicé cuatro cursos correlativos, con la lupa puesta en lo que había que hacer en cada uno en relación a la completitud. Uno de esos cursos es un curso de cálculo en una variable del ciclo básico común de la Universidad de Buenos Aires (UBA), los otros tres son cursos de la licenciatura en matemática de la UBA. En el segundo era un curso de cálculo en varias variables, el tercero de fundamentos de cálculo y el cuarto fue un curso de espacios métricos, pero una unidad completa estaba dedicada a R y en ella los estudiantes tenían que probar la equivalencia entre cuatro maneras diferentes de definir la completitud. A los alumnos de los últimos tres cursos les pregunté entre otras cosas, cómo explicarían ellos que una sucesión creciente y acotada converge; a los alumnos de los últimos dos cursos les pregunté qué entendían ellos de la afirmación: R es un conjunto completo”.
Con respecto a la primera pregunta, mi interés era ver en qué medida la completitud era problematizada. ¿Se interrogan a sí mismos los estudiantes sobre la existencia de ese límite? ¿Lo asumen como algo evidente? ¿Lo pasan a un dibujo? (en donde justamente, la existencia del límite se vuelve evidente).
Hay alumnos que justifican la existencia del límite poniendo explícitamente en juego la propiedad de completitud, hay alumnos que asumen la existencia del límite como algo evidente (sea porque incluyen una representación gráfica, sea porque dicen “evidentemente” tiene un límite” o algo así como “no les queda otra posibilidad que converger”), otros utilizan imágenes como una montaña que tiene una cima, una escalera que se termina, etc. Otros tienen una idea parcial de lo que es una sucesión creciente, piensan que la sucesión necesariamente se estabiliza, que se vuelve constante a partir de un cierto momento.
Para la gran mayoría de estudiantes de los cursos 2do, 3ro y 4to la existencia del límite no es cuestionada. Es sorprendente el caso de los últimos dos cursos si se compara con el tipo de actividades matemáticas que resuelven. Son ideas que quedan en el ámbito privado de los alumnos normalmente, y que un docente tiene interés en conocer.
Con respecto a la segunda pregunta (que quiere decir para vos que R es completo) encontré fundamentalmente dos tipos de respuesta: una respuesta de tipo operatoria (dada por una expresión matemática de la completitud) y una respuesta que da una visión “natural o corriente” de la completitud, refiriéndose a completo como lleno, sin agujeros o a la continuidad “natural” de la recta. Son ideas intuitivas pero que no pueden utilizarse en la resolución de problemas. Sin embargo es interesante ver que decir “continuo es que no tiene agujeros” es una versión no operacional de la definición matemática (que le debemos a Dedekind) “toda cortadura tiene un único elemento de separación”. Lo mismo sucede cuando los alumnos dicen “se acerca más y más”, es una idea que para poder usarse de manera matemática necesita operacionalizarse y pensarse como que la distancia entre dos elementos puede hacerse más pequeña que cualquier número positivo. Creo que captar esas ideas y transformarlas en afirmaciones matemáticas en la clase es algo que marca justamente el rol del docente de matemática.
La necesidad de fundamentación
Analia, podrías desarrollar un poco las propuestas, que se realizan en tu trabajo, sobre el abordaje del problema de la completitud en la enseñanza “que hace necesario pensar en escenarios descontextualizados” y que además requiere “se haya instalado en el aula la necesidad de fundamentación y una cierta madurez matemática”. ¿Logran los alumnos de primer año de universidad, en los tiempos previstos curricularmente, desarrollar esa madurez?
Saludos
Luis Reina
Sobre los «escenarios descontextualizados»
Como decíamos la completitud aparece no cuando se trata de determinar un máximo, un cero o un límite, tampoco cuando hablamos de que con los racionales no alcanza para dar respuesta a los problemas que se plantean en la matemática. La completitud queda afuera de problemas que involucren mediciones o lecturas de datos que provengan de fenómenos físicos, ya que frente a problemas concretos de medición, los números racionales son suficientes. Cualquier intento de mostrarla a partir de problemas externos a la matemática resultaría muy artificial.
La completitud aparece cuando a R se lo considera como el dominio del cálculo, allí es una necesidad interna de la matemática. Pero, para presentarla como una necesidad interna de la matemática hay pocas herramientas disponibles en primer año, ya que la completitud involucra ideas complejas: hay que comprender el interés de que una sucesión creciente y acotada converja o también qué es una sucesión de Cauchy y por qué no se puede desarrollar en análisis en un conjunto numérico sin contar con la condición de que una tal sucesión converja.
En ese sentido digo que se necesita una madurez, madurez de contenidos y de formas de hacer matemática, pensando en el matemático que, cuando así lo necesita, confía la validez de sus hallazgos solamente a pruebas que van con el rigor de la época en que trabaja.
¡Gracias Luis por tu interés en mi trabajo!
Números, para los griegos, sólo los enteros positivos.
Analía, en tu artículo sobre la revisión de la completitud y continuidad, mencionas que para los griegos sólo tenían estatuto de número, los números enteros positivos. Aceptaban, eso sí, razones entre números enteros y que tales razones representasen relaciones entre dos magnitudes. ¿Puedes comentarnos de esta diferencia entre número y relación entre magnitudes, pues ahora no nos resulta sencillo hacer esta diferencia? Hablamos de los números racionales como los que pueden expresarse como cociente de dos enteros, y que los enteros son un caso particular de números racionales. A los profesores nos parece esto muy claro, pero a varios alumnos, no.
Saludos:
José Luis Torres Guerrero
CECyT 7, IPN, México
Gracias por tu pregunta José Luis,
Tal como vos decís, para los griegos los números eran los números naturales. Sin embargo podían admitir razones entre números enteros que representaban la relación entre dos magnitudes (longitudes por ejemplo, o áreas) cuando estas admitían una medida común. Estas razones podían ser comparadas pero no se podía operar entre ellas (no se podían sumar ni multiplicar). Las razones debían ser razones entre magnitudes de la misma especie, pero podían ser comparadas con razones entre magnitudes de otra especie.
Los pitagóricos encontraron magnitudes de la misma especie que no podían medirse con una medida común; es lo que se llama magnitudes inconmensurables, que podemos interpretarlas con nuestros conocimientos de hoy en términos de irracionalidad.
¿Cómo miramos desde hoy la relación entre inconmensurabilidad e irracionalidad? Al comparar las longitudes a y b de dos segmentos que notaremos A y B, pueden ocurrir tres cosas:
El segmento A cabe una cantidad entera n de veces en el segmento B, en ese caso podemos expresar la longitud b tomando como unidad de medida la longitud a y decir que b = n.a. Recíprocamente, si se tiene esta igualdad para algún natural n, entonces el segmento A mide a B, y su medida es n.
Si ningún múltiplo entero de A es igual a B, puede ocurrir que se pueda dividir A en m partes iguales, para cierto m, de modo tal que el segmento A/m quepa exactamente n veces en el segmento B. En ese caso resulta que b = n/m . a.
En esos dos casos hay una medida común para ambos segmentos y por ello se dice que son conmensurables. Si tomáramos como unidad un segmento cualquiera sobre la recta, a cada segmento conmensurable con él correspondería un número racional.
Hay una tercera posibilidad y es que ninguna división en partes iguales del segmento A sirva para medir a B. En ese caso se dice que A y B son inconmensurables. La inconmensurabilidad es entonces un atributo posible de aplicar a un par de segmentos, y no a uno sólo. Si se fija un segmento como unidad, a cada otro segmento corresponde un número, a los segmentos no conmensurables con el segmento unidad, corresponden los números irracionales.
Saludos,
Analia
Relación entre la aritmética y la geometría.
Mencionas en este artículo que durante varios siglos se recurrió a la geometría para validar resultados de la aritmética y que en sus inicios, el álgebra se apoyaba en la geometría. Había pues, una relación fluida entre la aritmética y la geometría. No sé en otros países, pero en México se ha disminuido la presencia de la geometría en los cursos. ¿Puedes comentarnos de esta relación y su importancia?
Saludos:
José Luis Torres Guerrero
CECyT 7, IPN, México
Pregunta de José Luis:
Si, puedo hablar en términos de la validación basada en representaciones geométricas, aun cuando se trata de dominios no necesariamente geométricos, como el algebraico. Las representaciones geométricas han sido y son aun puntos de apoyo fundamentales para hacer avanzar el conocimiento. En un determinado momento hay una separación que se hace necesaria a partir de ciertas exigencias de rigor, en el contexto de validar proposiciones (que es en el fondo, lo que ha hecho aparecer la noción de completitud en la matemática). Efectivamente, Cardano por ejemplo en el siglo 16 utilizó la idea de continuidad del movimiento a partir de gráficos para obtener un cero de una función, haciendo uso implícito de un resultado que hoy reconocemos como el teorema de Bolzano. Los desarrollos del Cálculo de Newton utilizaba la idea de “lugar geométrico de un punto móvil” es decir, las curvas estaban naturalmente engendradas por un movimiento continuo. Y muchísimos resultados importantes fueron obtenidos sobre esta base. La geometría euclidiana era tomada en cierto modo como modelo del espacio físico.
Sin embargo a partir del desarrollo de las geometrías no euclidianas la relación entre la matemática y la realidad es puesta en cuestión, y en particular en los comienzos del siglo 19 los trabajos de Bolzano y Cauchy entre otros matemáticos buscaron definir con precisión las nociones de variable, limite, función; sin embargo muchas de las propiedades que se deseaba probar fueron atribuidas naturalmente al dominio numérico, sin discutir su validez.
Por otra parte, definitivamente Dedekind se apoya en la recta y en su continuidad para poder definir la completitud del sistema numérico. Él describió mediante una propiedad esta continuidad de los puntos, afirmando claramente el carácter indemostrable de esta propiedad, y literalmente “la tradujo” para enunciarla para los números, a partir de los racionales. Ese es el esquema de su construcción del conjunto R.
Diferente es la construcción de Cantor, él parte de lo que numéricamente es necesario (la convergencia de sucesiones fundamentales) incluyendo los racionales. A posteriori el declara que la recta es un conjunto de puntos que está en correspondencia con el constructo.
Por un camino o por el otro, ambos tienen como interés común que la recta y los reales funcionen de la misma manera y que haya una correspondencia entre puntos y números.
Saludos,
Analia.
Docencia en matemáticas
En México no existe la carrera de profesor de Matemáticas para los niveles de bachillerato y universidad. Quienes estamos como docentes estudiamos una ingeniería o una licenciatura en matemáticas o en física-matemáticas. Así, este tema de completitud es desconocido para varios. Tu artículo genera interés e inquietudes. Por una parte nos enteramos que la noción de número ha cambiado con el tiempo y que hace algo más de un siglo cuando se logró completar su construcción. Esto nos enriquece como docentes y genera nuevos retos para tomar esto en cuenta en la planeación de nuestras actividades de aprendizaje con nuestros alumnos. ¿Qué sucede en países donde sí existen las carreras para profesores de matemáticas en bachillerato y universidad?
Saludos:
José Luis Torres Guerrero
CECyT 7, IPN, México
Conocer la completitud
La pregunta José Luis me inspira a decirme: si la completitud es desconocida para varios ¿cuándo es que la completitud se vuelve interesante para conocerla?
Y bueno, en mi opinión, cuando se vuelve necesaria, cuando sea útil, cuando se trate de demostrar, de entrar en un tipo de racionalidad que es típico de la matemática superior, de la actividad del matemático que busca demostrar sus afirmaciones. En la historia se avanzó en el cálculo sin contar con la completitud; en muchos desarrollos se tomaba como punto de partida una idea preconstruida de la completitud (que estuvo, como dijimos antes, muy ligada a las evidencias de las representaciones geométricas). Solamente cuando se instaló el deseo de demostrar más allá de la evidencia de la representación apareció como pertinente el planteo de la completitud.
Si me preguntas, un docente de matemática para el bachillerato y la universidad realmente tiene que tener una formación muy sólida en matemática, que no dudo tenga un matemático o un ingeniero. Lo que diferencia fundamentalmente haber recibido una formación didáctica es el hecho de saber que para quien aprende, el aprendizaje de una nueva noción tiene sentido solo si esa noción sirve para resolver un problema o responderse una pregunta. Es lo que Douady llama “aspecto herramienta” en la dialéctica herramienta-objeto. Para muchas nociones matemáticas está al alcance comprender los problemas que les dan sentido. Pienso en la noción de derivada, viene la idea de velocidad instantánea, pienso en la noción de integral, viene la idea de área y así con muchos otros temas. Pero para el caso de la completitud, el carácter de herramienta solo se plantea si la “demostración “ es un problema, es una pregunta, es un objeto de estudio. Dependiendo de los países, en general ese enfrentarse con “probar todo” es algo típico de los años más avanzados de estudios superiores.
Los requerimientos institucionales determinan también hasta qué punto desplegar esta problemática, que tiene que ver hasta donde se desea ser riguroso en las demostraciones. La historia de la matemática, y en particular la manera en la que evolucionó la noción de completitud, nos muestra que la idea misma de rigor no es constante. Lo que era riguroso en un cierto momento se volvió insuficiente desde el punto de vista del rigor en una época posterior.
Gracias por tu interés!
Analia
La construcción del saber sobre el “NUMERO” transita por la capacidad del dicente para poder expresar la representación tabular de un conjunto de números, así también expresar su representación gráfica y su expresión matemática, la dificultad para hacer noción sobre estas tres formas de representar a un conjunto de números es parte del rudimento incompleto para quienes cursan unidades de aprendizaje tales como calculo diferencial e integral, métodos de optimización, etc, en cualquier programa de nivel superior que conlleve estos cursos. Ahora bien difícilmente existe para una academia un de rapport institucional que dé tal seguimiento.
Fe de errata dice: dicente lo correcto es discente
Nocion Representación Numero
La construcción del saber sobre el “NUMERO” transita por la capacidad del discente para poder expresar la representación tabular de un conjunto de números, así también expresar su representación gráfica y su expresión matemática, la dificultad para hacer noción sobre estas tres formas de representar a un conjunto de números es parte del rudimento incompleto para quienes cursan unidades de aprendizaje tales como calculo diferencial e integral, métodos de optimización, etc, en cualquier programa de nivel superior que conlleve estos cursos. Ahora bien difícilmente existe para una academia un de rapport institucional que dé tal seguimiento.
Planes de estudios modificados.
Estimada Analía:
Excelente su aporte sobre Análisis Matemático, el cual se enfoca en el Análisis Institucional (objeto, persona, institución) el cual no solo debe enfocarse en las tareas, sino también en las técnicas, tecnologías y teorías. Me resulta interesante una de las preguntas con la cual usted inicia su escrito: ¿A qué recortes y modificaciones se someten estos saberes a fin de volverse «aptos» para ser enseñados?
En mi experiencia de quince años como docente de educación media superior, también conocida como bachillerato, he vivido tres reformas educativas, en las cuales los planes de estudio han sido modificados según las necesidades de lo que nuestros estudiantes pre universitarios deben saber al egresar de bachillerato.
Mi planteamiento es:
Si nuestros estudiantes no manejan un adecuado lenguaje matemático al llegar al bachillerato, tienen una comprensión lectora deficiente y, aunado a esto, hemos sufrido varios «recortes a los saberes», ¿Cómo lograrán los estudiantes comprender la completitud de los números reales?
Saludos.
Jorge Alberto Sánchez García
Colegio de Bachilleres No. 27
San Luis Potosí, México
Jorge Alberto,
Muchas gracias por su interés en mi trabajo. Comprendo lo que usted plantea, y lo comparto plenamente. Creo que nuestra misión como docentes es partir de donde nuestros alumnos están y acompañarlos para que pasen a un estado de conocimiento superior y más elaborado. Lo mejor que podemos hacer por nuestros estudiantes es hacer que se hagan preguntas, que deseen saber más. ¡Cada uno lo hará en función de los estudiantes que le toquen!
Cordialmente,
Analia Bergé
Muchas gracias por su comentario. Un gusto leer aportaciones que enriquecen nuestra práctica docente. Efectivamente, haciendo una analogía de la práctica docente con la de un arquitecto, para lograr que un edificio no caiga, debemos empezar desde los cimientos.
Saludos cordiales.
Jorge Alberto Sánchez García
Cobach 27, S.L.P., México.
Completitud de los Números Reales
Estimada Dra. Analía Bergé:
Desde su excelente estudio, teniendo en cuenta el ámbito universitario; ¿Como se abordaría la completitud de los números reales, si la conceptualización de los alumnos está sujeta a una imagen mental y visual de la representación de un recta numérica? ¿y desde la geometría y análisis del álgebra que saberes son necesario para poder llegar a la compresión y demostración de la completitud de los números reales?
Saludo atentamente.
Analy Herrera.
Instituto de Enseñanza Superior «Del Atuel» N°9-011.
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Estimada Analy,
Yo diría que hay que poder plantear una pregunta que haga necesario salir de la representación de la recta. Como mencionaba en alguna otra pregunta, el aprendizaje formal de la completitud solo se justifica si es necesario validar más formalmente que con dibujo o una representación en un par de ejes cartesianos. Desde el análisis, al menos es necesario manejar las funciones y las sucesiones, para poder entender las preguntas que le dan sentido a esta noción.
¡Qué lindo nombre Analy! Es parecido al mío, nunca lo había escuchado antes.
Un saludo,
Analia Bergé
Muchas gracias por su respuesta, fue muy interesante su trabajo de completitud de números reales.
Gracias por sus Cordiales palabras.
Saludo atentamente
Analy.
El papel de la geometría en la matemática griega
Estimada Dra. Bergé:
Cuando usted habla de no poder expresar numéricamente las razones entre magnitudes ilimitadas, y que esto significó para la matemática griega una cierta tensión entre el desarrollo de la aritmética y el desarrollo de la geometría. ¿Podría usted ampliarnos un poco más sobre esas tensiones entre los dos tipos de desarrollos?
Saludos:
Cecilia Sanchez.
Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” N°9-011.
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Intervención Didáctica
Estimada Dra. Analía Bergé:
En su magnífico trabajo menciona la necesidad de problematizar desde la enseñanza la evidencia gráfica de la continuidad de la recta. ¿Qué otro elemento de intervención didáctica contribuiría a la conceptualización de la noción de completitud?
saludos atentamente.
Andrea Herrera.
Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” N°9-011.
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Estimada Andrea,
Gracias por valorar mi trabajo. Desde mi punto de vista, para poder comprender la completitud es necesario enfrentarse con tareas para las que la evidencia grafica no es suficiente, lo que va de la mano de desear validar más allá de lo que se puede ver en un gráfico o un dibujo. La historia de la matemática nos permite pensar en algunos ejemplos, en particular el trabajo de Dedekind, mencionado en uno de los artículos propuesto como lectura para el foro.
Cordialmente,
Analía Bergé
Estimada Analia:
Muchas gracias por su respuesta, fue un honor leer su trabajo de la completitud de los números reales, su aporte nos ayuda a comprender la historia de la matemática.
Saludo atentamente.
Andrea Herrera.
Una antigua discusión es ¿qué tan formales debemos ser en el bachillerato? ¿Eso ayudaría con las dudas en primer semestre o confundiría? ¿Qué crees?
Adriana Gómez Reyes
CCH Sur, CECyT 13
México. D. F.
¿Y la formalidad en el bachillerato?
Una antigua discusión es ¿qué tan formales debemos ser en el bachillerato? ¿Eso ayudaría con las dudas en primer semestre o confundiría? ¿Qué crees?
Adriana Gómez Reyes
CCH Sur, CECyT 13
México. D. F.
La cuestión de la formalidad en el bachillerato
Estimada Adriana,
Se puede ser formal de muchas maneras, si entiendo bien, te preguntas hasta donde “hay que probar” en el bachillerato. En matemática probamos para convencer (a otros, a uno mismo) o probamos para explicar. Estas dos “vocaciones” de las pruebas tienen un bello lugar en el bachillerato, pero hay que ser prudentes: cuando un alumno está muy convencido de un resultado o de una afirmación matemática, a menos que tenga un espíritu científico muy marcado, no sentirá la necesidad de demostrar. Entonces, yo diría: seamos formales en la medida que sea necesario (por ejemplo, que haya una duda, una incerteza y entonces sea necesario convencer o explicar, como decíamos más arriba), en la medida que se agregue un valor a lo ya hecho, que permita al alumno percibir su utilidad.
Analia Bergé
Université du Québec à RImouski
Québec, Canada
Muchas gracias Analia por tu aclaración con relación a la «demostración» en el bachillerato, pues si bien es cierto que los chicos de hoy en día no siempre se preguntan de dónde surgieron tales o cuales cuestiones, si son muy críticos con relación a por qué sucede esto o aquello y por qué puede hacerse determinado procedimiento.
Considero muy importante la precisión acerca de la importancia de recurrir a la demostración cuando se trata de convencer o explicar.
Olga Botero
Universidad de Antioquia
Medellín – Colombia
Conjuntos
El desarrollo de los números es similar a la forma en qué se van integrando al conocimiento de los estudiantes,desde niños pequeños que comienzas a contar, la completitud se da entonces al integrar los reales ¿cómo se dio esto históricamente?
Adriana GómezReyes
CCH Sur, CECyT 13
México, D.F.
Historia de la completitud de los reales
Adriana, algo pasó con los artículos propuestos para leer en el foro. Bajo el título “Continuidad y completitud revisadas a través de 23 siglos…” aparece otro artículo sobre el tema y que está escrito por mí, pero que no es el artículo que está anunciado. Cuando este inconveniente sea solucionado, usted podrá acceder a un relato y un análisis de cómo surgió históricamente la noción de completitud del conjunto de los números reales.
Cordialmente,
Analia Bergé
Álgebra y su relación con la geometría
Estimada Dra. Analía Bergé:
Cuando hace referencia que para la resolución de una ecuación se efectuaba primeramente un tratamiento algebraico «completando cuadrados» y se daba luego una demostración de validez de lo obtenido vía geométrica, ¿Por qué la resolución algebraica era vista como insuficiente para completar la solución del problema?.
Saludos.
Celeste Moyano
Alumna del Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” N°9-011.
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Álgebra y su relación con la geometría
Estimada Celeste,
No tenemos suficiente conocimiento como para afirmar que la resolución algebraica era vista como insuficiente, es sólo una lectura posible del hecho que una resolución geométrica le era añadida. Por eso mismo, no puedo responder certeramente a su pregunta, sin embargo puedo formular la hipótesis (tal como escribíamos con Carmen Sessa en el artículo de RELIME) que el álgebra era una nueva herramienta, menos difundida, menos conocida y menos aceptada que la geometría. Esta última otorgaría mayor “seguridad” o “confianza”.
Cordialmente,
Analia Bergé
Los números irracionales y su estatus epistemológico
Estimada Dra. Analía Bergé:
Cuando hace referencia Stevin de la definición de numero como «El numero es aquello por lo cual se expresa la cantidad de cada cosa» y también dice «Que el numero no es una cantidad discontinua», ¿Por qué niega la discretitud del numero como una característica de su naturaleza?
Saludos.
Carolina Agüero
Alumna del Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” N°9-011.
Sobre Simon Stevin
Estimada Carolina,
No soy especialista en Simon Stevin pero según entiendo, Stevin reconocía a todos los números con un estatuto equivalente, es decir, para él, no solamente los naturales eran números, los racionales y los irracionales eran números también. Hoy en día esto puede sorprendernos, pero tenemos que tener en cuenta que los números no siempre fueron lo que son hoy para nosotros. Cuando él dice que el número no es una cantidad discontinua, entendemos que para él los números forman un continuo, algo diferente de lo que sucede con los naturales (que constituyen un conjunto discreto).
Cordialmente,
Analia Bergé
Problemática de la completitud
Estimada Dra. Analía Bergé:
Cuando hace referencia que para enfrentar a los alumnos a la problemática de la completitud en la noción de conjunto de números reales se requiere que se haya instalado en el aula la necesidad de fundamentación. ¿De qué manera se puede lograr que los alumnos tengan la necesidad de fundamentar dicha propiedad del sistema numérico?
La saludo atentamente.
Verónica Genoud
Alumna del Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” N°9-011.
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Problemática de la completitud
Estimada Verónica,
Para tener la necesidad de fundamentar la propiedad de completitud de los reales, como le decía más arriba a Andrea, es necesario enfrentarse con tareas para las que la evidencia gráfica no es suficiente. La historia de la matemática nos ayuda a pensar en algunos ejemplos, en particular los trabajos de Cauchy y Bolzano y los posteriores de Dedekind y Cantor (mencionados en uno de los artículos propuesto como lectura para el foro). Claro que para ello es necesario saber bastante matemática y conocer las sucesiones de Cauchy, por ejemplo.
Cordialmente,
Analia Bergé
Estimada Analia:
Muchas gracias por responder a mi interrogante,me pareció muy interesante su trabajo de la completitud de los números reales y es un gran aporte a mi formación como docente.
La saludo atentamente.
Genoud, Veronica
Buenos tardes a todos.
Se me hace muy interesante el trabajo expuesto. El docente se debe de convertir en un investigador es un reto para todos. Viendo como son nuestros estudiantes y cómo reaccionan y reflexionan.
La evolución de la matemática utilizando diferentes métodos, realizando transformaciones geométricas a algebraicas entre otras.
¿Qué tan complejas deben de ser las tareas para acotarlas?
Saludos cordiales. Bertha Alicia Alviso Nájera. Centro Emsad 04. Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí.
Hola a todos.
La planificación que realice el docente es fundamental el poder llevar a cabo la organización matemática.
Se deben de diseñar muy bien las actividades para que no lleguen a confundir a los alumnos. Los ejes del panorama cognitivo entre ellos la validación, flexibilidad, etc
¿Qué recomienda para que se pueda implementar con los estudiantes utilizando los distintos ejes y aparte conlleve al crecimiento cognitivo de los estudiantes?
Saludos cordiales. Bertha Alicia Alviso Nájera. Centro Emsad 04. Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí.
Estimada Amalía Bergé :
La quiero felicitar por su excelente investigación , de manera particular en nuestro país ( México) el estudio de los números esta completamente desarticulado del nivel secundaria al nivel medio superior donde actualmente laboro, coincido con lo que usted cita de A. Robert donde se menciona que se debe ser saber sabio, saber enseñar , y saber enseñado.
Robert afirma de la existencia de tres niveles :
donde nuestros alumnos se quedan en el 1.- El técnico donde se realizan tareas objetivas sobre un teorema o corolario matemático pero como dije anteriormente del nivel secundaria al nivel bachillerato esa desarticulación de saberes ocasiona que no logren el nivel 2.- Movilizable donde donde los alumnos sobrepasan la aplicación de una propiedad y dificilmente logran el nivel 3.- que son autónomos y capaces de articular una teoría.
DOROTEO DÍAZ SÁNCHEZ Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí Plantel 34
Respuesta a Doroteo Diaz Sanchez
Gracias por sus palabraas de felicitación. Lo que usted menciona se ve también en muchos otros lugares!
Cordialemente,
Analia Bergé
Maestra Analía Bergé:
Otro punto importante que usted menciona es la relación entre la Geometría y la Aritmética , ya que la mayoría de los docente la impartimos como si fueran materias completamente separadas ya lo menciono usted los griegos trataron de dar una explicación gráfica a la representación numérica y lo mismo debemos hacer en nuestras aulas darle sentido a la recta Real. DOROTEO DÍAZ SÁNCHEZ Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí Plantel 34
Maestra Analía Bergé:
En su investigación de la complejidad de los números reales, cita la investigación de Y. chevellard (1998) en el trabajo de transposición didáctica , y los alumnos tienen la oportunidad de escalar niveles de conocimiento por medio de herramientas como las tics, los números reales son al igual que los racionales e irracionales difíciles de demostrar a nuestros alumnos y el maestro debe de tener la creatividad para facilitar su aprendizaje.
Hola buenas tardes.
Me llamó la atención reconstruir nuestras clases. Hay muchas maneras de resolver un problema y utiliza diferentes técnicas y cada uno de nuestros estudiantes responde de una manera diferente y plantea cuestionamientos de acuerdo a sus vivencias y conocimientos que tenga.
¿Qué tan pertinente es el uso de las tecnologías en cálculo diferencial e integral en el nivel medio superior? ¿Cómo poder evitar los errores lógicos?
¿Qué estudio previo propone para conocer el tipo de actividades que se sugiere implementar con los estudiantes y el grado de complejidad de las tareas? ¿Qué técnica aplica para validar?
¿Qué tan complejas deben de ser las demostraciones en el nivel medio superior?
Saludos cordiales. . Bertha Alicia Alviso Nájera. Centro Emsad 04. Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí.
Demostraciones.
Me quedo con el hecho de que las demostraciones son esenciales, más que convencer a los demás con ellas, coincido en que es mejor para lograr la comprensión y la búsqueda de razones. Antes de estudios profesionales, es común sólo colocar las fórmulas y lego aplicarlas en los respectivos de ejercicios. las demostraciones permiten efectivamente el entender porque esa fórmula y de donde surgió.
José Arturo Viramontes Reyna.
Colegio de Bachilleres de SLP, Plantel 07, Ahualulco. Sede: San Luis Potosí.
Preguntas guía.
Al desarrollar las actividades, son esenciales la preguntas guía, ya que nos permiten reflexionar respecto a las tareas que mejor desarrollo cognitivo dejarán y beneficiarán a los estudiantes. ¿Que técnicas se utilizarán en la resolución de las tareas? ¿Que elementos de las tareas serían indicadores de reflexión?¿En que medida las tareas contribuyen a hacer evolucionar los ejes introducidos en el panorama cognitivo? son algunas de las preguntas guía que aparecen en el texo.
José Arturo Viramontes Reyna.
Colegio de Bachilleres de SLP, Plantel 07 Ahualulco. Sede: San Luis Potosí.
Teoría, técnica y Tecnología.
Los tres son complementos en el conocimiento y aprendizaje, La primera (teoría) nos permite dar los fundamentos, los cimientos sobre lo que se va a trabajar. la técnica será la que nos permita elegir la mejor forma de transmitir este aprendizaje, conociendo la forma de trabajar de los estudiantes. Finalmente, la tecnología, facilita visualmente el aprendizaje entre otras diversas formas.
José Arturo Viramontes Reyna.
Colegio de Bachilleres de SLP, Plantel 07, Ahualulco. Sede: San Luis Potosí.
Estimada Dra. Bergé.
Axiomatización de R en la enseñanza.
En su valiosa investigación, cuando hace referencia a que no se parte de las propiedades y relaciones entre objetos para llegar a la axiomatización de R y plantea que si se presentara parte de la teoría, de los resultados con los que se espera contar para el trabajo y luego los axiomas como los neesarios puntos de partida de este conjunto de teoremas, se comprendería mejor la teoría axiomática, ¿por qué no se pone en práctica esa estrategia? ¿Cuál sería la forma más
adecuada para hacerlo?
Saludos atentamente.
Melanie Antolínez.
Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” N°9-011.
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Estimada Melanie:
Son muy interesantes tus preguntas, intentaré esbozar alguna respuesta a ellas.
La primera pregunta se relaciona con lo que propone Analia de comenzar, en enseñanza superior, con un estudio de la noción no axiomatizado para luego instaurar en clase la necesidad de demostrar propiedades que a veces pueden resultar evidentes a la percepción visual, para posteriormente arribar a la teoría axiomática propiamente dicha. Tu pregunta hace referencia a por qué no se realiza esto último, y la respuesta, me parece, tiene que ver con estos seminarios «Repensar las Matemáticas» ya que buscan actualizar a alumnos y profesores con los recientes resultados de investigaciones didácticas. Estos resultados pueden dar algunos elementos que contribuyan a la actividad del docente en el aula, en este caso específicamente se trata de la noción de completitud del conjunto de los números reales.
La segunda pregunta la responde la Dra. Bergé en el documento principal, pero siguiendo sus comentarios una forma que se presenta adecuada es la de instaurar en la clase de matemáticas, de nivel superior, la «necesidad» de fundamentación, de argumentación, esto puede ayudar a una mejor comprensión de la propiedades, en este caso particular de la completitud del conjunto R.
Espero haber contestado tus preguntas.
Saludos.
Luis Reina
Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel”
San Rafael. Mendoza. Argentina
Muchas gracias por responder mi pregunta profesor, me sirvió para aclarar algunas ideas y comprender de a poco la historia de la matematica.
Saludos.
Melanie Antolínez.
“El surgumiento del álgebra y su relación con la geometría“
Estimada Analía Bergé:
Verdaderamente aprecio con mucho fervor su investigación y su trabajo en el cual se observa su gran dedicación.
Cuando usted menciona en su trabajo que “el desarrollo de la geometría analítica trajo como consecuencia modificar la relación entre la geometría y el álgebra“; ¿podría aclararme brevemente cómo se modificó dicha relación? ¿ Qué aporte introdujo la geometría analítica en base a la completitud y continuidad?
Saludo atentamente.
Alexis Díaz
Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel“ N° 9-011
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Estimada Dra. Bergé:
Primeramente deseo felicitarla por su aporte a la investigación y lo valioso que esto es para quienes tenemos interés en la materia; es inspiradora su forma de incentivar a repensar las matemáticas.
En su trabajo y como es duda en parte de mi colega Alexis Díaz, cuando en su apartado «El surgimiento del Álgebra y su relación con la Geometría» usted plantea que el Álgebra no tenía estatuto como para aceptarse como instrumento de validación, mientras que la geometría si era aceptada ¿Puede que en la actualidad esa jerarquía se haya invertido y que ninguna construcción geométrica sea suficiente sin un desarrollo algebraico que lo sustente?
Saludos cordiales
Instituto de Enseñanza Superior «Del Atuel» Nª9-011
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Estimada Dr. Bergé:
Completitud de los números reales
Teniendo en cuenta las investigaciones que ha realizado a lo largo de su carrera y los conocimientos que ha adquirido en el transcurso de ellas, ¿Cuál cree usted que es la imagen mental mas común que se tiene sobre continuidad de la recta en relación con la completitud, al momento de un ingreso a estudios superiores? ¿Qué tan distante es esa imagen con la que se necesita para introducirse de lleno en el tema?
Saludos cordiales
Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” Nª9-011
San Rafael, Mendoza, Argentina.
“Problemática de la completitud”
Estimada Dra. Analía Bergé:
Cuando usted hace referencia de no poder expresar numéricamente las razones entre magnitudes ilimitadas, y que esto significó para la matemática griega una cierta tensión entre el desarrollo de la aritmética y el desarrollo de la geometría. ¿Podría usted ampliarnos más sobre esas tensiones entre los dos tipos de desarrollos?
La saludo atentamente.
Valeria Pozos
Alumna del Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” N°9-011.
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Estimada Dr. Bergé:
Completitud de los números reales.
Desde su maravilloso trabajo e investigación ¿Cómo se puede introducir la noción densidad y continuidad para comprender el concepto de número real y la biyección número real-punto de la recta?.
Saludo atentamente.
Luciana Delgado.
Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” N°9-011.
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Sorprendente análisis histórico.
La verdad me ha sorprendido el exhaustivo análisis histórico que realizó acerca de muchos de los temas mas representativos de matemáticas, me da gusto que sea una persona conocedora de matemáticas y de historia, he aprendido bastante, yo daba por hecho, que por ejemplo muchas ecuaciones matemáticas existían sin saber que antes diversos personajes las habían analizado, que los conceptos de números reales eran de difícil comprensión en las diferentes épocas. Felicidades por enriquecer su material con tan excelente breviario histórico cultural.
José Arturo Viramontes Reyna.
Colegio de Bachilleres, Plantel 07, Ahualulco, SLP. Sede: San Luis Potosí, SLP, México.
El desarrollo del cálculo vinculado a cuatro problemas.
Creo que los cuatro problemas que menciona, clásicos en el desarrollo del cálculo, me llenan satisfactoriamente porque en breves palabras me permite responder las preguntas de los estudiantes “¿Para que sirve el cálculo?, ¿para que lo inventaron?”. En forma breve y especificando los cuatro problemas, ya me será más sencillo responder estas interrogantes. Gracias.
José Arturo Viramontes Reyna.
Colegio de Bachilleres, Plantel 07, Ahualulco, SLP. Sede: San Luis Potosí, SLP, México.
Números reales.
Vaya, que el texto de referencia está lleno de datos bien fundamentados, la historia mostrada es interesante, así como los diversos problemas enfrentados en las diferentes civilizaciones y diversos personajes que tan atinadamente se mencionan, es notable la forma en que se presentaron la diferentes situaciones de series, temas de cálculos, como se desarrollaron, como el álgebra, la aritmética y la geometría se fueron formando. Excelente artículo que vale la pena leerlo una y otra vez para siempre tener referencias a lo visto en el aula. Todo lo desarrollado a lo largo de los siglos se presenta en el aula en pocas sesiones, se debe reconocer el mérito de quienes han permitido entender con formulaciones matemáticas la naturaleza.
José Arturo Viramontes Reyna.
Colegio de Bachilleres, Plantel 07, Ahualulco, SLP. Sede: San Luis Potosí, SLP, México.
Tecnología educativa.
Interesante la caricatura en el texto de referencia e invita a la reflexión. La educación se debe ir ajustando a las tecnologías existentes. Antes era lápiz y papel, ahora es la tecnología digital, y las generaciones y su educación son afines.
José Arturo Viramontes Reyna.
Colegio de Bachilleres, Plantel 07, Ahualulco, SLP. Sede: San Luis Potosí, SLP, México.
Estimada Analí gracias por compartir tu investigación, es muy exhaustiva y completa.
Realmente a mi me enriquece porque yo tengo formación de ingeniera y efectivamente como comentas también en el video, aprendí las matemáticas para utilizarlas en la ingeniería en electrónica y ahora doy clase a estudiantes de ingeniería, y realmente no había escuchado el tema de completitud que tu mencionas en tu investigación, y efectivamente en ninguno de los programas de estudio de matemáticas de la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica viene incluido ese tema. En ESIME Zacatenco, IPN, los que damos matemáticas algunos son físicos matemáticos de formación y generalmente ellos manejan muchas demostraciones, otros pocos somos ingenieros nos enfocamos más a dar las matemáticas aplicadas a la carrera.
Agradezco que hayas compartido tu conocimiento, saludos
ROCIO RAMIREZ VILLANUEVA
ESIME ZACATENCO
MEXICO, D.F.
La relación del modelo matemático:
Mencionas que el modelo matemático, puede servir de apoyo en tanto los conocimientos del fenómeno modelizado pueden actuar como completación del trabajo que se hace en el modelo matemático, como control de resultados obtenidos, pero completar o controlar el trabajo vía las propiedades del fenómeno modelizado, hace que se requiera menos trabajo matemático y puede opacar la visualización de las eventuales sutilezas del modelo.
Reflexionando en esto, ahora me doy cuenta de ciertos temas en los que los métodos de solución, se pueden resumir a una simple fórmula, sin mucha labor matemática, y efectivamente los estudiantes están inmersos en resolver correctamente el álgebra y las derivadas e integrales que están involucradas sin reparar en todo lo que representa dicho modelo, sin analizar lo que ocurre al modificar ciertas variables, o simplemente a preguntarse de donde sale esa fórmula.
ROCIO RAMIREZ VILLANUEVA
ESIME ZACATENCO, IPN, MEXICO D.F.
Estimada Rocio
Estoy de acuerdo contigo, pero creo que se requiere un cambio de paradigma de nosotros los profesores, es necesario que cambiemos la visión para, como tu misma dices, nos demos cuenta que se le puede dedicar menos a las cuestiones algorítmicas y más a la parte de análisis.
Adriana Gómez Reyes
CECyT 13, IPN
CCH Sur, UNAM.
La noción de conjunto de números reales.
Estimada Anali:
Mencionas en tu investigación que enfrentar al alumno con la problemática de la completitud, requiere que se haya instalado en el aula la necesidad de fundamentación, lo cual supone un recorrido anterior, una cierta madurez matemática, haber salido del plano de lo evidente y un cambio de la racionalidad.
Aun cuando en ESIME Zacatenco, nuestros estudiantes aprenden las matemáticas contextualizadas en el ámbito de la ingeniería, he observado que de un grupo de 30 alumnos, 4 o 5 están interesados en la fundamentación de la matemática que están utilizando, por el tipo de preguntas que hacen en clase, son alumnos que tienen intereses más específicos sobre el desarrollo de la matemática, las demostraciones. De acuerdo a lo que mencionas, estos alumnos estarían aptos para introducirlos al conocimiento de la completitud de los números.
Para dar un inicio en este concepto con los estudiantes de nivel superior, podría dejar como actividad extra, una investigación y exposición por equipos este tema y seguramente esos alumnos que no se conforman con las matemáticas contextualizadas lograran aprender y entender ese concepto, y los demás sabrían al menos que existe y que es parte de la noción del conjunto de los números reales. Sería una forma de dar a conocer este concepto que está pero no se ha aplicado ni considerado en los programas de estudio.
Saludos
ROCIO RAMIREZ VILLANUEVA
ESIME ZACATENCO, IPN
MEXICO, D.F.
Invitación a reflexionar.
El documento de referencia presenta la necesidad de la reflexión de dos conceptos muy importantes en la Matemática: completitud y continuidad; sobre todo para fortalecer las competencias conceptuales de los docentes y que permita la discusión de ellos en el aula. El análisis y reflexión sobre las características del campo de los números reales y la recta numérica son importantes en la formación matemática del docente y el documento presenta excelentes interrogantes para iniciar el análisis y la discusión de estos conceptos; ya que la mayoría de los docentes los «obviamos» y se privilegia la parte mecanicista y de trazos geométricos. Ahora pregunto a la autoras: ¿consideran que el contexto socio-demográfico que prevaleció en el pueblo griego, influyó en estas construcciones sobre la característica de la continuidad de la recta?.
Martha Aguirre
Docente Tiempo Completo
ESIQIE – IPN
Estoy completamente de acuerdo contigo Martha estos conceptos son obviado por la mayoría de nosotros los profesores, y eso es un grave error. Creo que vale mucho la pena reflexionar, hasta que punto es por falta de dominio, por falta de tiempo o por ahorrarnos dificultades.
Adriana Gómez Reyes
CECyT 13, IPN
CCH Sur, UNAM
Como bien responden, todos estos conceptos son tomados a la ligera por la mayoría de los profesores, sin embargo, me gustaría saber qué se puede hacer como profesor para que nuestros alumnos logren comprender los conceptos enseñados en el aula, sin que lleguen con los prejuicios que todos conocemos con respecto a las matemáticas. ¿Qué técnicas recomiendan o implementan?
IPN ESIQIE
PROFESOR
Necesidad de la completitud.
Es sumamente interesante los comentarios de la Dra. Bergé sobre la necesidad de fundamentar y validar los resultados que un estudiante obtiene en la resolución de problemas y para ello es importante el concepto de completitud. En efecto, en la enseñanza de la Matemática en ingeniería y en específico en el IPN, la ejercitación de problemas de Cálculo se centra en la obtención del resultado y muy pocas veces se reflexiona sobre su demostración; pero este análisis podría ser detonado y dirigido por el docente y por ello, le pregunto a la Dra. Bergé: ¿qué estrategias didácticas recomienda usted para iniciar y conducir este análisis en el aula?, entiendo que este análisis le permitirá al estudiante tener la seguridad de que sus resultados tienen la validez que se requiere en el ámbito matemático.
Martha Patricia Aguirre Jones
ESIQIE – IPN – México
Martha
En mi experiencia (en NMS) creo que el primer paso es insistir a los estudiantes que expliquen lo que hicieron, y por qué lo hicieron, para ir dándole formalidad en la medida que se van habituando. Esto podría comenzarse desde niveles básicos pero cuanto antes mejor.
Adriana Gómez Reyes
CECyT 13, IPN
CCH Sur, UNAM
Estimada Dra. Analía Bergé:
Cuando hace referencia al desarrollo del álgebra en Europa, durante el siglo XVI y parte del siglo XVII, que siguió apoyándose en los significados geométricos, continuando la tradición de los árabes, ¿podría ampliar cómo se apoyaban en los significados geométricos para la completitud? ¿Qué sucedía en otros lugares del mundo?
Desde ya muchas gracias.
Melanie Antolínez
Alumna del Profesorado de Matemática.
Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” N°9-011.
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Estimada Dra. Analía Bergé:
Mi última inquietud es acerca del papel de la axiomatización, que puede ser mejor comprendido si se acepta romper con el esquema «primero se produce conocimiento y luego se comunica». ¿Por qué considera que esto es así?
Reitero mis felicitaciones, saludos cordiales.
Melanie Antolínez
Alumna del Profesorado de Matemática.
Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” N°9-011.
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Estimada Analia
Los cursos a los cuales se hace referencia en las diversas entradas en este foro son de carácter universitario. Quisiera saber si es posible ofrecer a los estudiantes de la educación básica y secundaria cuestionamientos o actividades relacionadas con los números Reales que les vayan generando la necesidad de abordar cuestiones más complejas como las características de este conjunto que se mencionan en cursos superiores.
Gracias
Olga Botero
Universidad de Antioquia
Medellín – Colombia
Considero que uno de los primeros inconvenientes a los que nos enfrentamos es el hecho de que la mayoría de los alumnos, en cualquier nivel de educación llegan con cierto desagrado a las matemáticas, lo que provoca que el tratar de enseñar algo nuevo se vuelva una tarea muy difícil. En el documento de referencia habla sobre los procesos de cada uno de los subtemas que se tocan, pero, ¿qué se puede hacer para que en cada nivel de educación, los alumnos logren llegar con ganas de aprender y nosotros podamos mostrarles el lado positivo de las matemáticas?
IPN ESIQIE
PROFESOR
Estimada Analia, pensando nuevamente en los chicos de la etapa escolar me pregunto ¿es posible introducir las primeras nociones de los números racionales diseñando situaciones que los lleven a realizar mediciones de diversos segmentos en los que aparezcan diversas relaciones mesurables e inconmesurables? ¿Qué sugerencia podría aportarnos desde su experiencia?
Gracias
Olga Botero
Universidad de Antioquia
Medellín – Colombia
Completitud del sistema numérico
Estimada Dra. Analía Bergé:
Quiero felicitarla por su excelente trabajo expuesto sobre el estudio didáctico de la completitud del conjunto de los número reales.
En el texto de referencia menciona: Es la existencia de solución en el modelo matemático lo que hace necesaria la completitud del sistema numérico con el que se trabaja pero no es ese el problema que estaba en juego en este periodo. ¿Cuáles son los problemas que surgen en en periodo ( siglos XVII y XVIII)?
Saludos atentamente.
Analy Herrera.
Alumna del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
Instituto de Enseñanza Superior 9-011 “Del Atuel”
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Aportes de la geometría al cálculo diferencial
Estimada Dra. Analía Bergé:
Felicitaciones por su maravilloso trabajo y dedicación el estudio didáctico de la completitud del conjunto de los número reales.
En el documento de referencia menciona: Ni las exposiciones más formales del cálculo diferencial basan sus demostraciones en la continuidad sino que apelan consciente o inconscientemente a nociones geométricas o de motivación geométrica o bien se basan en teoremas nunca demostrados por los medios puramente aritméticos. ¿Podría ampliarnos sobre los aportes significativos de la geometría al cálculo?
Saludos atentamente.
Andrea Herrera.
Alumna del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
Instituto de Enseñanza Superior 9-011 “Del Atuel”
San Rafael, Mendoza, Argentina.
Dra. Analía Bergé:
Felicitaciones por su trabajo y dedicación al estudio didáctico de la completitud del conjunto de los número reales.
En el documento de referencia nos hace referencia a Hilbert: “Cuando damos un vistazo en la literatura a los muchos trabajos sobre la aritmética y sobre los principios de la geometría y los comparamos entre sí, nos damos cuenta que aparecen analogías o comparaciones, o elementos que tienen en común los distintos objetos y no solo eso, sino también analogías en los métodos de investigación.”
De esta manera podemos pensar que las matemáticas se han ido reforzando por medio de comprobaciones y relaciones.
IPN ESIQIE
PROFESOR
Completitud Atributo implícito
Dra. Analía
La felicito por sus trabajos y su exposición. Realmente es de los trabajos de investigación que he leído y que aterrizan en una aplicación con sus conclusiones. Desde mi punto de vista, las publicaciones tocan aspectos claves en la enseñanza de las matemáticas. Generalmente los alumnos requieren hacer significativo el aprendizaje conociendo la aplicación. Su cuestionamiento sobre para qué demostrar lo evidente, coincide muchas veces con las ideas que tienen estudiantes, por ejemplo de ingeniería, donde la situación práctica predomina sobre la analítica, lo cual se manifiesta en las conclusiones a las que se llega en su trabajo sobre el análisis institucional. Si bien, considero que el análisis matemático se justifica completamente en una carrera universitaria de matemáticas, pero ¿que tan pertinente es plasmar en los programas de estudio de ingeniería temas tan exhaustivos o complejos de análisis matemático como el de la completitud, considerando los tiempos asignados en el aprendizaje de las matemáticas?
José Luis González Marroquín
Profesor de Matemáticas Aplicadas
ESIQIE, IPN, México
Teoría Antropológica
Dra. Analía:
Si bien están claras las preguntas y las respuestas en los artículos del tema, surgen cuestiones que desde mi punto de vista sería interesante dialogar. Del artículo sobre análisis institucional me llaman principalmente la atención 3 aspectos que se mencionan: 1) la teoría antropológica, donde se plantea que «resulta insuficiente observar y analizar el conjunto de tareas, por lo cual también estudia las praxeologías», 2) Robert A. postula que «no se puede alcanzar cierto nivel de conceptualización si solamente se plantean técnicas entre las tareas», y 3) respecto a demostrar lo evidente concluye que «no son los aspectos convencer, ni decidir los que se ponen en juego, sino más bien la comprensión y la búsqueda de razones» , es decir, «pasar de lo pragmático a lo intelectual». Estos temas son trascedentales para el estudio de las matemáticas. Considero que engloba la justificación del estudio de los temas matemáticos desde el punto de vista analítico. Pero en las conclusiones del trabajo de análisis institucional, se observa que uno de los aspectos que prácticamente no se cubren, son la «necesidad» del análisis matemático. Y muestra también que no solo es responsabilidad del alumno, sino que muestra carencias que como maestros tenemos, ya que somos los responsables de elaborar los programas de estudio. Y entonce surge una situación importante, ¿cómo podemos exigir que los alumnos adquieran esos niveles de intelectualidad matemática, cuando nosotros como responsables no lo somos? En función de ésto, ¿Qué medidas sugeriría tomar para cubrir éstas carencias?
José Luis González Marroquín
Profesor de Matemáticas Aplicadas
ESIQIE, IPN, México
Conjunto organizado por praxeología
Dra. Analía:
Como en los mismos artículos leídos se menciona, el tema puede ser visto desde diferentes ángulos, y lo que es válido para algunos, puede no serlo para otros. Más que el tema de completitud, los artículos abordan problemas torales en la enseñanza de las matemáticas. En sí, hago referencia a lo siguiente que se plantea: «Un conjunto organizado que está estructurado por praxeología, integra una organización matemática, mientras que la organización didáctica consiste en la manera de llevar a cabo la organización matemática». Esto engloba básicamente la forma en que están estructurados la mayoría de los programas de estudio de las matemáticas. Considero que nos hemos ocupado en estructurar por praxeología, y nos olvidamos de la didáctica. De ahí los problemas nacionales e internacionales que se tienen en el aprendizaje de las matemáticas. ¿Qué podemos hacer como responsables? ¿Se tienen algunos modelos que se puedan seguir para evitar ésto?
José Luis González Marroquín
Profesor de Matemáticas Aplicadas
ESIQIE, IPN, México